厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）2001年陕西省第四次大学生高等数学竞赛试题及答案

www.cnki.net Vol 4. No. 4 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 竞赛之窗 陕西省第四次大学生高等数学竞赛 (复赛)试题(附答案)m年0月12 (10分)求(,)x-。(n>1) 0,当n为偶数 n!,当n为奇数 (10分)设函数qx)、f(x)有一阶连续导数,且f(x)>0,又函数z(x,y)=ftx+qy)]满 足方程y)ax az az 0,求qy).[=Ce (10分)计算1=,1 1+kcos;dx,k为非零常数 tan [当|对>1时, 当00. (1)证明xn≥3(n=1,2,…) (2)证明数列{xn}收敛,并求1mxn,[=3 五、(10分)求幂级数∑一 9+×°+/”的收敛域与和函数 (1,1)=|1-x+x1(1x,00,a>0)的交线,从ax轴 的正向看过去为逆时针方向 (1)写出曲线C的参数方程:Cx22y2sm2=asm2,t从0变到2 (2)计算曲线积分yax+zdy+xda.[=,n 出。设墙壁对子弹运动的阻力与速度平方成正比,求子弹穿过墙壁的时间.[=40b(5 八、(10分)子弹以速度v=400m/s垂直打进厚为20cm的墙壁,穿透后以100m/s的速度 3

竞赛之窗 陕西省第四次大学生高等数学竞赛 k复赛l试题k附答案l usst 年 ts 月 tv 日 上午 |Β ss) tuΒ ss 一!kts 分l求 §ν §ξ νk ξ v ξ u p tlÞ ξ€ s kν tl≈€ so当 ν 为偶数 p νdo当 ν 为奇数 二! kts 分l设函数 Υkξ l!φ kξ l有一阶连续导数o且 φ χkξ l so又函数 ζkξ oψl€ φ ≈ξ n Υkψl 满 足方程 Υkψl5ζ 5ξ p 5ζ 5ψ€ so求 Υkψlq≈€ Χεψ 三!kts 分l计算 Ι €Θ t t n ꦲ¶ξ §ξ oκ 为非零常数q ≈当 Þ κÞ  t 时oΙ € t κ p t κ p t κ n t¯± κ n t κ p t n ·¤± ξ u κ n t κ p t p ·¤± ξ u n Χ~ 当 s  Þ κÞ  t 时oΙ € u t p κu ¤µ¦·¤±k t p κ t n κ·¤± ξ u l n Χ~当 κ € ? t 时oΙ € ? ¦¶¦ξ ? ¦²·ξ n Χo 四!kts 分l设 ξ νn t€ t w kvξ νn {t ξ v ν lkν€ sotouo, lo其中 ξ s s1 ktl证明 ξ ν∴ vkν€ touo, l1 kul证明数列¾ξ νÀ收敛o并求¯¬°νψ ] ξ ν 1≈€ v 五!kts 分l求幂级数6 ] ν€ s ν νn tξ ν 的收敛域与和函数∀ ≈kp totl€ t tp ξ n t ξ ¯±ktp ξ los Þ ξ Þ  t so ξ € s 六!kts 分l计算曲面积分 κ Σ ukt p ξ u l§ψ§ζ n ψk{ξ n tl§ζ§ξ p wξ ζ§ξ §ψq其中 Σ 是由弧段 ζ € ξ p t ψ € s kt [ ξ [ vl 绕 ξ 轴旋转一周的旋转曲面oΣ 的法向量 ν ο 与 οξ 轴的夹角大于 Π u q≈€ vwΠ 七!kts 分l设曲线 Χ 为曲面 ξ u n ψu n ζu € αu 与曲面 ξ u n ψu € αξ kζ∴ soၠsl的交线o从 οξ 轴 的正向看过去为逆时针方向∀ ktl写出曲线 Χ 的参数方程~≈Χ}ξ € α u n α u ¦²¶τoψ€ α u ¶¬±τoζ€ α¶¬± τ u oτ从 s 变到 uΠ kul计算曲线积分Θ Χ ψu §ξ n ζu §ψ n ξ u §ζq≈€ p Π w αv 八!kts 分l子弹以速度 Μs€ wss° Ù¶垂直打进厚为 us¦° 的墙壁o穿透后以 tss° Ù¶的速度飞 出∀ 设墙壁对子弹运动的阻力与速度平方成正比o求子弹穿过墙壁的时间∀ ≈€ v wsss¯±uk¶l wv ∂ ²¯1wo ‘²1w ⁄¨¦qo usst 高等数学研究 ≥× ⁄Œ∞≥ Œ‘ ≤ ’ ∞Š ∞  „ × ‹ ∞ „ × Œ≤ ≥

高等数学研究 2001年12月 九、(0分)设函数f(x)在闭区间.6660)上具有三阶连续导数,且f(-6)=-6,f(6) 6,f(0)=0.证明在开区间(6)内至少存在一点,使8f“()=6 十、(10分)设函数u=u(x,y,z)有二阶连续偏导数,且满足关系 (1)证明在球坐标下,n仅依赖于而与6和9无关即一0及如0 (2)若函数u除满足关系(·)外,还满足方程 试求n(x,y,2)的表达式,[=S+2Jx+y+2 十一、(10分)一个底半径为1尺,高为6尺的开口圆柱形水桶,在高出水桶底面的2尺处,有 两个小孔两小孔的连线与水桶轴线相交问该桶最多能盛多少水而不漏水?[=3123+n 十二、(10分)设x>0,试证明不等式 0(2·f)sin2dt≤8 上接第26页) 1(1+2)(x>0 证在原不等式两边同时取对数恒等变形为mn(1+x)0),也即等价于 这是显然成立的因为积分变量t满足10),从而 例4设b>a>0,证明2b In b b∫12(b-a) b. 1)h 4at 因此原不等式等价于:4(这也是显然成立因为1<1<,从而0 立 从上面的例子可知利用积分法证明不等式的要点是把代数不等式转化成积分不等式,并且注 意不等式两边的积分限要相同,上限要大于下限,主要技巧体现在积分上、下限的选择 能用积分法证明的不等式很多,在这里仅举四例,起一个抛砖引玉的作用 ·封底照片说明·封底右下角照片,由吴凡、冯虎摄像提供,其他照片由张肇炽摄. 上期封底照片说明·上期(总第89期)封底照片,由王慧娟摄像提供,特此补充说明,并向王女士 致歉

九!kts 分l设函数 φ kξ l在闭区间≈p ∆o∆ k∆ sl上具有三阶连续导数o且 φ kp ∆l€ p ∆oφ k∆l € ∆oφ χksl€ s∀ 证明在开区间kp ∆o∆l内至少存在一点 Νo使 ∆u φ ­kΝl€ y∀ 十!kts 分l设函数 υ€ υkξ oψoζl有二阶连续偏导数o且满足关系 υχ ξ ξ € υχ ψ ψ € υχ ζ ζ k3 l ktl证明在球坐标下oυ 仅依赖于 Θo而与 Η和 Υ无关o即5υ 5Η € s 及5υ 5Υ € s~ kul若函数 υ 除满足关系k3 l外o还满足方程5 u υ 5ξ un 5 u υ 5ψun 5 u υ 5ζu € s1 试求 υkξ oψoζl的表达式∀ ≈€ χt Θn χu€ χt ξ u n ψu n ζu n χu 十一!kts 分l一个底半径为 t 尺o高为 y 尺的开口圆柱形水桶o在高出水桶底面的 u 尺处o有 两个小孔o两小孔的连线与水桶轴线相交o问该桶最多能盛多少水而不漏水‚ ≈€ x v u n w v Π 十二!kts 分l设 ξ ∴ so试证明不等式} Θ ξ s kuτp τ u l¶¬±u τ§τ [ { x k上接第 uy 页l t τ [ τn t uτ τ 即 s [ k τ p tlu 例 3 设 ν 为整数o证明 ε ξ  ktn ξ ν lξ kξ  sl 证 在原不等式两边同时取对数恒等变形为 ¯±ktn ξ ν l ξ ν kξ  slo也即等价于 Θ tn ξ ν t t τ §τΘ tn ξ ν t §τ 这是显然成立的o因为积分变量 τ满足 t  τ tn ξ ν kξ  slo从而 t τ  t∀ 例 4 设 ⁠ၠso证明ukβp αl βn α  ¯± β α 证 ⊥ ¯± β α €Θ β α t t τ §τo ukβ p αl β n α € uk β α p tl β α n t €Θ β α t w kt n τlu§τ 因此原不等式等价于Θ β α t w kt n τlu§τΘ β α t t τ §τo这也是显然成立o因为 t  τ β α o从而 s  kτp tlu o即 w kt n τlu  t τ 成立∀ 从上面的例子可知利用积分法证明不等式的要点是把代数不等式转化成积分不等式o并且注 意不等式两边的积分限要相同o上限要大于下限o主要技巧体现在积分上!下限的选择∀ 能用积分法证明的不等式很多o在这里仅举四例o起一个抛砖引玉的作用∀ # 封底照片说明# 封底右下角照片o由吴凡!冯虎摄像提供o其他照片由张肇炽摄∀ # 上期封底照片说明# 上期k总第 {| 期l封底照片o由王慧娟摄像提供o特此补充说明o并向王女士 致歉∀ ww 高等数学研究 usst 年 tu 月