厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类2011）

第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (数学类,2011年3月) 考试形式:闭卷,考试时间:150分钟满分:100分 题号 三四五六总分 满分151515152020100 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其他纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 3、如当题空白不够,可写在当页的背面,并标明题号 得分□ 、(本题15分)求出过原点且和椭球面4x2+5y2+6z2=1的 评阅人 交线为一个圆周的所有平面 得分 、(本题15分)设02(C() 评阅人 三(本题15分)设∑m收敛,1=a1+2an2+…+kn+ 证明:limt=0 得分 四、(本题15分)设A∈Mn(C),定义线性变换 F阅人 a4:Mn(C)→Mn(C),aA(X)=AX-KA.证明:当A可对角 化时,a4也可对角化这里Mn(C)是复数域C上n阶方阵组成的线性空间 五、(本题20分)设连续函数f:R→R满足 评阅人 supf(x+y)-f(x)-f(y)<+∞,证明:存在实常数a满足 sup|∫(x)-ax|<+∞

六、(本题20分)设φ:Mn(R)→R是非零线性映射,满足 评阅人 q(XY)=9(YX),Vx,F∈Mn(R),这里M(R)是实数域R上 n阶方阵组成的线性空间在Mn(R)上定义双线性型(--):M(R)xMn(R)→R 如下:(X,F)=g(XY) (1)证明(-,-)是非退化的,即若(X,F)=0,VY∈Mn(R),则X=0 (2)设A,,A2是Mn(R)的一组基,B,…,B,是相应的对偶基.即 (4,B)=6=0.当11.证明∑4B是数量矩阵