厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）2007年湖南省大学数学竞赛模拟试卷

2007年湖南省大学数学竞赛模拟试卷 一、解答下列各题(每小题6分,共18分) n+1n+3 月+(2n+1) 2.设函数:=(x具有二阶连续偏导数,试求常致a的值,使得变换{一x+2可把 =r+ay 方程 2=0简化为 3.已知是椭球面二++三=1的外侧,计 fcr +1)d:+(y+1)dzdx(=+1 dxdy 二、证明下列各题(每小题8分,共16分) 1,设函数f(x)在(-∞,+∞)内三阶可导,且f(x)和(x)在(,+∞)内有界,证明f(x) 和f(x)在(-∞,+∞)内有界 2.设在(+0)内,函数f(x)连续,g(=f(x)f(d单调减少,证明:f(x)=0 三、(10分)已知a1+c4x,n=012…,求级数∑(ya的和 四、(10分)设函数f()在10+∞)上连续,()={(x,y,2)eR'x2+y2+z2≤t2,z20} S()是Q()的表面,D()是92()在xy平面的投影区域,L()是D()的边界曲线,已 知当re(0,+∞)时,恒有 ff(x+y2+y2dx+j(x2+y2+)ds=fx2+y)d+前y2+y+dy 求f()的表达式 五、(10分)设A=(a)为n阶对称矩阵,求二次型函数

f(x,x2,…,x)=∑x 在R”上的单位球面S:x2+x2+…+x2=1上的最大值与最小值 六、(10分) 且x=-1y=1,试求limx,lim xn-l-ayn 七、(10分)设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵, (1)证明:AE E B-JAB-Els 2)若E一AB可逆,证明E-BA也可逆 八、(8分)设(X,)在边长为1的正方形内服从均匀分布,该正方形的中心在坐标原点 对角线在坐标轴上 (1)求(x,y)的联合密度f(xy) (2)求X与Y的边缘密度f2(x)f(y) (3)求条件密度f2(x) (4)求D(X+1) 九、(8分)设有AB两物体,其重量A,H未知.用一台天平对物体A独立称量n次 其结果为x1x2…,X,用同一台天平对物体B独立称量n2次,结果为F,2,F,称 重时,天平有随机误差E,且g-N(0,02) (1)求,共和σ2的极大似然估计,兵和a2; (2)求估计量 G2的均值,它们是否为无偏估计? 3)设显著性水平为a,给出H。:=共1H1:≠共的检验方法