厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第三届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类 2011）

第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类2011) 一、(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 计算下列各题(要求写出重要步骤) (1)lim (1+x)=-e2(1-ln(1+ 6 (2)设an=Cscs……cosn,求 lim an (3)求//sgn(xy-1drdy,其中D={(x,y)10≤x≤2,0≤y≤2} 求幂级数∑”的和函数,并求纵∑2一的和 、(本题共16分)设{an}=0为数列,a,A为有限数,求证: (1)如果iman=a,则加ma1+a2+…+a (2)如果存在正整数p,使得lim(an+p-an)=入则,m=2 三、(本题共15分)设函数∫(x)在闭区间[-1,1上具有连续的三阶导数 且f(-1)=0,f(1)=1,f(0)=0.求证:在开区间(-1,1)内至少存在 点0,使得f"(x0)=3 四、(本题共15分)在平面上,有一条从点(a,0)向右的射线,其线密度为P, 在点(0,b)处(其中h>0)有一质量为m的质点,求射线对该质点的引力。 五、(本题共15分)设z=x(x,y)是由方程 确定的隐函数,且具有连续的二阶偏导数,求证: y分=0和D +xy(x+)20y2 =0 六、(本题共15分)设函数∫(x)连续,a,b,c为常数, ∑是单位球面x2+y2+2=1,记第一型曲面积分 1=//fax+b+c)dS.求证:I=2x/f(ya2+b2+e2n)du