《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§4.10 线性系统的稳定性

心号与系我 m4.11 §4.0线性系统的稳定性 引言 定义(BBO)】 证明 由Hs的极点位置判断系统稳定性 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1 §4.10 线性系统的稳定性 •引言 •定义（BIBO） •证明 •由H(s)的极点位置判断系统稳定性  4.11

引言 某连续时间系统的系统函数 H)= 0.001 s+1s-2 当输入为（①时，系统的零状态响应的象函数为 R()=1-0.005 0.005 S S+15-2 0.005<<1 a=1-e'+0.005e2t) 但很大时，这个正指数项 超过其他项并随着t的增 大而不断增大

X 第 2 一．引言 页 某连续时间系统的系统函数 ( ) 2 0.001 1 1 − + + = s s H s 当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为 ( ) 2 0.005 1 1 0.005 1 zs − + + − − = s s s R s r (t) ( )u(t) t 2t zs = 1− e + 0.005e − 0.005 1 但t很大时，这个正指数项 超过其他项并随着t 的增 大而不断增大

续 实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将 使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截 止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系 统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备 等。 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励信号的情况无关。冲激响应和()、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。 网】

X 第 3 .续 页 实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将 使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截 止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系 统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备 等。 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性

定义(BBO) 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也 是有界的，则称该系统有界输入有界输出(BBO)稳 定的系统，简称稳定系统。 对所有的激励信号() e()<M. 其响应满足 r(t)3M, 则称该系统是稳定的。式中，M。,M为有界正值： 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件)： d)dt≤MM为有界正值

X 第 4 二．定义（BIBO） 页 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也 是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳 定的系统，简称稳定系统。 对所有的激励信号e(t) ( ) Me e t  ( ) Mr r t  其响应r(t)满足 则称该系统是稳定的。式中， 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）： Me , Mr 为有界正值。  h(t) t  M  − d M为有界正值

三.证明 充分性 对任意有界输入()，系统的零状态响应为： r()=[n)(-z)az r()s)t(-)a- 代入e(t)sM.,得 ()sM.)a: 如果满足a)t≤M,则 r()sM.M 充分性得证

X 第 5 三．证明 页 对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为： ( ) = ( ) ( − )d   − r t h e t ( )  ( )  ( − ) d   − r t h e t 代入e(t)  Me ， 得 ( ) ( ) d e   − r t  M h 充分性 如果满足 h(t)dt  M，则  − r(t)  Me M 充分性得证

必要性 如果)d无界，则至少有一个有界的e()产生无界 的r(t)。选择如下信号： -1 t)0 这表明e(t)(d)=t),则响应r(t) r()=["nep(t-z) r(0)=[n(e(-)az=)dz 此式表明：若∫t)d无界，则O)地无界 必要性得证

X 第 6 页 ( )  ( ) ( ) ( ) ( )       = −  − = = 1 0 0 0 1 0 sgn h t h t h t e t h t ( ) 的 。选择如下信号： 如 果 无界，则至少有一个 有界 的 产生无界 ( ) d ( ) r t h t t e t   − 这表明 e(− t)h(t) = h(t) ,则响应 r(t) r(t) = h( )e(t − )d   − (0) ( ) (  )d ( ) d    −  − r = h e − = h 此式表明： 若 h(t) dt无界，则r(0)也无界  − 必要性 必要性得证

四.由Hs)的极点位置判断系统稳定壁 1.稳定系统 若H(s)的全部极点位于σ平面的左半平面（不包括虚 轴)，则可满足 lim h(t)=0 t->oo 系统是稳定的。 例如 系统稳定； p>0,q>0系统稳定。 s2 ps+q

X 第 7 四．由H(s 页 )的极点位置判断系统稳定性 1．稳定系统 若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足 lim ( ) = 0 → h t t 系统是稳定的。 , 0 1  + p s p 0, 0 1 2   + + p q s ps q 例如 系统稳定； 系统稳定

2.不稳定系统 如果H(S)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶 (或以上)极点 limh(t)→oo t-→o0 系统是不稳定系统。 3.临界稳定系统 如果HS)极点位于平面虚轴上，且只有一阶。 t→为零数值或等幅振荡。 合UD

X 第 8 2．不稳定系统 页 →  → lim h(t) t 如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶 （或以上）极点 系统是不稳定系统。 3．临界稳定系统 如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t → 为非零数值或等幅振荡。 ,h(t)

4.系统稳定性的判据 时域：ht)dt<oo ●从频域看要求H(s)的极点： ①右半平面不能有极点（稳定） ②虚轴上极点是单阶的（临界稳定，实际不稳定）。 倒题

X 第 9 页 4．系统稳定性的判据     − 时域： h(t) dt 从频域看要求H(s)的极点： ①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)