《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

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新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1 § 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域

主要内容 从傅里吐变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换

X 第 2 主要内容 页 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变挺： 1.拉普拉斯正变换 信号f(t),乘以衰减因子e'(σ为任意实数后容易满足 绝对可积条件依傅氏变换定义： F(o=rVe]=ye小eidi =f(t)t =F(+j) 令：o+jo=s,具有频率的量纲称为复频率 则 F(s)=["f(t)e-"'dt

X 第 3 一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 页 ( ) =   = − t F F f t   ( ) e 1 f t  t t t ( )e e d  −j +  − −   , : ( ), e ( ) 绝对可积条件依傅氏变换定义 信 号 f t 乘以衰减因子 − t 为任意实数 后容易满足 令: + j = s,具有频率的量纲, 称为复频率。 = F( + j) ( ) ( )   − − F s = f t t s t e d 则 1．拉普拉斯正变换 f t t t ( ) e d −( +j) +  − =  

2.拉氏逆变换 F(o+ja)="f(t)e-)'dt=F(s)=()e-"dr 对于fd)e是F(σ+jo的傅里叶逆变换 eFo+ja) 两边同乘以ei f)Fo+jo)edo 其中s=o+jo;若o取常数，则ds=jd0 秋分限：上对邓： 所以 f0)

X 第 4 页 2．拉氏逆变换 ( ) ( )   − − =  +     e d 2π 1 e t j t f t F j ( ) ( ) ( )      j e d 2π 1 j   − + = + t f t F    − +  −   j j : :   积分限：对 对s 对于 ( )e 是 ( j)的傅里叶逆变换  + − f t F t  t 两边同乘以e 其中:s = + j ; 若取常数，则d s = jd ( ) ( )  +  −  = j j e d 2π j 1   f t F s s s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    − −  − − + F + = f t t = F s = f t t t s t j e d e d  j   所以

3.拉氏变换对 F=[Uf】=ef)e'di 正变换 Vo0-UoErea: 逆变换 记作：fd>FSf(G)称为原函数，F(S)称为象函数. 考虑到实际信号都是有起因信号： 所以 F)="f(t)e-at 采用0系统，相应的单边拉氏变换为 F)=f】=f0e"ai 0=uUV仞=2 ()e"a

X 第 5 3．拉氏变换对 页 考虑到实际信号都是有起因信号： ( )  ( ) ( )  ( )  ( ) ( )     = = = =   +  −  −  − − j j 1 e d 2π j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t 逆变换 正变换 记作: f (t)  F(s) 采用0 系统,相应的单边拉氏变换为 − ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( )        = = = =   +  −  −  − − j j 1 0 e d 2π j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t f (t)称为原函数，F(s)称为象函数。 F(ω) f (t) t ωt e d j 0 −   所以 =

二.拉氏变换的收敛 收敛域：使Fs)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； limf(t)e=0 G>Go) 收敛轴 收敛坐标 00

X 第 6 二．拉氏变换的收敛 页 ( ) 0 lim f (t)e 0 σ σ σ t t =  − → 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区

例题及说明 1.满足limf(t)e1=0g>o,的信号成为指数阶信号 2.有界的非周期信号的托变换一定存在 3.lim "e-'=0(g>0） 4.limee=0 (o>a） t→o0 5.e等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标 为非指数阶信号，无进行拉氏变换。 6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围

X 第 7 例题及说明 页 1.满 足lim f (t)e t 0(σ σ0 )的信号成为指数阶信号； t =  − →  3.lim e = 0 (  0) − →  n  t t t ( α) t t t =  − →    4.lime e 0 6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 2 5.e t 2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；

三.一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数 La(e小-1e"dt= 2.指数函数 g >-a） a+5 3.单位冲激信号 L[t】-=o0e"dt=1 全s域平面收敛 L[6t-元】=t-)e"dt=e

X 第 8 三．一些常用函数的拉氏变换 页  =  =   − 0 L u(t) 1 e dt st 1.阶跃函数 2.指数函数  = =   − − − 0 L e e e dt α t α t st s s st 1 e 1 0 = −  − ( ) ( ) = − +  − + 0 e α s α s t α + s 1 (σ  −α)  ( ) ( ) e d 1 全s域平面收敛 0 =  =   − L t t t st    ( ) ( ) 0 e d e 0 0 0 s t s t L t t t t t −  − − = −  =    3.单位冲激信号

4.tu() t]=".eat te- Jedt -e+ 子门时 e"dr n=2 所以]-”k] 4 n=3 n=I =ft.eat -3- t de" 所以]

X 第 9 4． 页 t nu(t)     − =  0 L t t e dt st 2 0 1 e 1 1 s s s st =      − = − −  −     − =  0 L t t e dt n n st   − − = 0 1 t e d t s n n st   − − = 0 de 1 st t s        − − =   −  − 0 0 e e d 1 t t s st st n = 2     2 3 2 2 2 1 2 s s s L t s L t = =  = n = 3     3 4 3 3 2 3 2 6 s s s L t s L t = =  =     −1 = n n L t s n L t  − − = 0 e st n s t   − − + 0 1 t e d t s n n st   1 ! + = n n s n L t  n = 1 所以 所以