复旦大学：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第十三讲 进动运动，重力矩，章动（侯晓远）

第13次课(进动运动,重力矩,章动10月19日 本节课主要解决:1)在进动参照系中,重力矩的作用问题 2)章动问题 问题1) FA科 在图中以p角速度旋转的进动参照系 非惯性系 T科 惯性力 A点:方向Y轴 惯性离心力 科里奥利力 f科=2mxOB点:为零 C点:方向+Y轴 被支点O的约束产生力矩 D点:为零 力所平衡 四点所受的科里奥利力所产生的力矩方向 为+X轴方向 故不产生力矩作用 整个转盘上各点所受的科里奥利力总体产生的 力矩方向:科‖xOp(‖表示平行 科方向与重力矩r重方向相反,若大小一致,则在进动的参照系中所观察到的合力矩 τ科+重=0,故L守恒,所观察到的L大小和方向不变。 科又称迴转力矩,其作用平衡重力矩的作用

第 13 次课 (进动运动，重力矩，章动) 10 月 19 日 本节课主要解决： 1) 在进动参照系中，重力矩的作用问题                   2) 章动问题 问题 1)                      A 点：方向‐Y 轴 f mv =2 ×ω p JK K JK 科     B 点：为零                   C 点：方向+Y 轴                   D 点：为零 四点所受的科里奥利力所产生的力矩方向            为+X 轴方向 ⇓ 整个转盘上各点所受的科里奥利力总体产生的 力矩方向：τ ω ω p ′ × K JK JK 科 &     ( & 表示平行 ) τ ′ K 科 方向与重力矩τ K 重 方向相反，若大小一致，则在进动的参照系中所观察到的合力矩 τ τ+ =0 ′ K K 科 重 ，故 L JK 守恒，所观察到的 L JK 大小和方向不变。 τ K 科 又称迴转力矩，其作用平衡重力矩的作用。     在图中以ω p JK 角速度旋转的进动参照系 非惯性系 惯性力 惯性离心力 科里奥利力 被支点 O 的约束 力所平衡 产生力矩 故不产生力矩作用 τ K 重 τ ′ K 科 F A JK 科 D C B A O ω p JK Z Y X ω JK Fc JK 科 mg JK

问题2) 当陀螺自转轴(初始沿y轴)自水平方 P 向静止释放后,开始它并不绕z轴进动, A【章,O章 T重 而是在重力矩重或重力mg作用下,发 生下倾的绕x轴的旋转运动(章动)。 i)在绕x轴旋转的过程中,其章动的角速 度O(-x轴方向)不断增加。在章动"x 的非惯性参照系中系统一定要受到一个 迴转力矩r章(沿+z轴方向)的作用(参 见上一个问题的讨论),τ章迴转力矩的大小随O章增加而增加。 了DXO霾(‖为平行 i)在r章迴转力矩作用下,系统产生绕z轴的旋转运动—即进动,进动角速度随章 增加以及时间的增加而不断增加。 )在进动的非惯性参照系中,系统又受到了一个进动的迴转力矩r进(方向+x轴) 作用,它的方向与重力矩方向相反,故抵消重力矩的作用,导致章动角加速度下降 由于O章个→章↑→Op个→r进↑,进进动迴转力矩最终可以超过r重,故合 力矩的方向沿x轴正向,这时将产生一个沿x轴正向的角加速度。 T进 )在此角加速度的作用下,沿-x轴方向的O章不断减小,最终减至零并进而产生沿x 轴正向的O章,此时系统下倾到最低点后而产生向上的旋转运动。这时r章力矩反向 其作用使Op减速,导致τ进下降---这种往复作用导致章动! 以上两个问题的实质是物体的惯性使然

问题 2) i) 当陀螺自转轴（初始沿 y 轴）自水平方 向静止释放后，开始它并不绕 z 轴进动， 而是在重力矩τ K 重 或重力 mg JK 作用下，发 生下倾的绕 x 轴的旋转运动（章动）。 ii) 在绕 x 轴旋转的过程中，其章动的角速 度ω JK 章（ −x 轴方向）不断增加。在章动 的非惯性参照系中系统一定要受到一个 迴转力矩τ ′ K 章（沿 +z 轴方向）的作用（参 见上一个问题的讨论），τ ′ K 章 迴转力矩的大小随ω JK 章 增加而增加。         τ ω ω ′ × K JK JK 章 章 & ( & 为平行 ) iii) 在τ ′ K 章 迴转力矩作用下，系统产生绕 z 轴的旋转运动——即进动，进动角速度随τ ′ K 章 增加以及时间的增加而不断增加。 iv) 在进动的非惯性参照系中，系统又受到了一个进动的迴转力矩τ ′ K 进（方向 +x 轴）的 作用，它的方向与重力矩方向相反，故抵消重力矩的作用，导致章动角加速度下降。 由于ω τ ωτ p ′ ′ ↑⇒ ↑⇒ ↑⇒ ↑ JK K JK K 章章 进 ，τ ′ K 进 进动迴转力矩最终可以超过τ K 重 ，故合 力矩的方向沿 x 轴正向，这时将产生一个沿 x 轴正向的角加速度。         τ ω ω p ′ × K JK JK 进 & v) 在此角加速度的作用下，沿 −x 轴方向的ω JK 章 不断减小，最终减至零并进而产生沿 x 轴正向的ω JK 章 ，此时系统下倾到最低点后而产生向上的旋转运动。这时τ ′ K 章 力矩反向， 其作用使ω p JK 减速，导致τ ′ K 进 下降          这种往复作用导致章动！ 以上两个问题的实质是物体的惯性使然。     Y O Z ω p JK X ω JK 章 τ ′ K 章 τ ′ K 进 mg JK τ K 重 ω JK , L JK

二自由度迴转罗盘 根据前两个问题讨论,在豆旋转的非惯性参照系中,罗盘受到ra週转力矩作 用,其方向沿-y轴方向。r‖l×9 i〕在该力矩作用下,罗盘绕-y轴转动,最终O或L与Ω平行,此时罗盘不再受 惯性力矩(迴转力矩)的作用 该罗盘自转角动量有指向转动参照系的角速度Ω方向趋势 作为指北针 对罗盘没有作用 L:方向稳定性

二自由度迴转罗盘 i) 根据前两个问题讨论，在Ω JK 旋转的非惯性参照系中，罗盘受到τ Ω ′ K 迴转力矩作 用，其方向沿 − y 轴方向。    τ ω Ω ′ ×Ω K JK JK & ii) 在该力矩作用下，罗盘绕 − y 轴转动，最终ω JK 或 L JK 与Ω JK 平行，此时罗盘不再受 惯性力矩（迴转力矩）的作用。 该罗盘自转角动量有指向转动参照系的角速度Ω JK 方向趋势。 作为指北针 Ω = Ω + Ω ←⎯⎯ & ⊥ ⎯ω JK JK JK JK 趋向 对罗盘没有作用 L JK ：方向稳定性 z y x Ω JK L JK ω JK τ Ω ′ K Ω JK Ω⊥ JK Ω& JK ω JK Ω JK ω JK Ω JK

三自由度陀螺:具有定向、制导、导航作用 我需统 外环轴 转于 一航向刻度盘 内 方修正 力距电机 液体开关 内环轴 仪表壳体 自转轴 水平修正 力矩电机 陀螺半罗盘的结构原理图

三自由度陀螺：具有定向、制导、导航作用