复旦大学：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第八讲 质心，质心系中的动量，变质量系统（侯晓远）

第8次课(质心,质心系中的动量,变质量系统)2007.928 质心 位矢 =,∑mTnM=∑m,质心系的总质量 Center of mas 速度Vcm M min 加速度acm M之man 合外力作用在质点系上导致系统质心的运动状态变化 ∑F 对于刚体质心Fm=1mn∑m=1「m M/ydm an M 例题:求密度为p,半径为R的匀质半圆盘的质心 解:分析对称性得xm=0,求ym 在y距离取一宽度为dy的质量微元dm=pds=p2 Rcos 0d

第 8 次课 (质心，质心系中的动量，变质量系统) 2007.9.28 质心：              位矢    1 1 N cm n n n r mr M = = ∑ K K     1 N n n M m = = ∑ 质心系的总质量                     速度    1 1 N cm n n n v mv M = = ∑ K K                    加速度    1 1 N cm n n n a ma M = = ∑ K K 合外力作用在质点系上导致系统质心的运动状态变化     ∑F Ma ext = cm JK K 对于刚体    质心    0 1 1 cm limm r r m rdm M M δ δ → = = ∑ ∫ K KK ⇒    1 cm x xdm M= ∫                1 cm y ydm M= ∫      1 cm z zdm M= ∫ 例题：求密度为ρ，半径为 R 的匀质半圆盘的质心。 解：分析对称性 得 0 cm x = ,求 cm y 在 y 距离取一宽度为 dy 的质量微元 dm ds R dy = ρ = ρ θ 2 cos       θ rറ δ୫ dθ dy y Center of Mass

两个变量日和y,转化成一个变量y= Rsin e dy= dl cos 0=Rcos ode Mj p2R coS Osin 0d0=-R 3丌 例题:如图在半圆中挖去一个圆,求留下部分A的质心y4 B C=AB半圆 解决问题思路:原则上通过质心积分公式求得,但实际计算中微元选取较困难。 1)挖去部分B(质心yB)添回A构成半圆c(质心yc) 2)y,yc容易求得,已知 3)y2=m"1+m→从中解得y! 质公系中总动重P=2m=MMm,=Mm v 相当于所有质点的质量集中在质心时质心的动量 在质心系中系统的总动量 F=∑m下,=m(1下 m vn =Mvanm-Mven=0 与上节课二体碰撞选择的特殊参考系(质心系)一样,质心系中系统的总动量为零

两个变量θ 和 y ，转化成一个变量 y R = sinθ                               dy dl R d = cos cos θ = θ θ 2 3 2 0 1 4 2 cos sin 3 cm y R dR M π ρ θ θθ π = = ∫ 例题：如图在半圆中挖去一个圆，求留下部分 A 的质心 A y ？ 解决问题思路：原则上通过质心积分公式求得，但实际计算中微元选取较困难。 1） 挖去部分 B (质心 B y )添回 A 构成半圆 C (质心 Cy ) 2） B y , Cy 容易求得，已知 3） AA BB C A B my my y m m + = → + 从中解得 A y ！ 质心系中总动量： 1 1 1 N N n n n n cm n n P m v M m v Mv = = M = =⋅ = ∑ ∑ JK K KK                                                           相当于所有质点的质量集中在质心时质心的动量 在质心系中系统的总动量： 1 1 1 1 ' ' () ( ) 0 N N nn n n cm n n N N n n n cm n n cm cm P mv m v v mv m v Mv Mv = = = = ==− = −⋅ =−= ∑ ∑ ∑ ∑ JJK K KK K K K K 与上节课二体碰撞选择的特殊参考系(质心系)一样，质心系中系统的总动量为零。 vcm K

变质量系统 一个主体在运动过程中有增加或减少质量现象(如火箭,下落雨滴),该主体运动状态 必然会受到质量变化的影响,对该主体其牛顿动力学方程 V变化 P=Mv主体的动量变化 M变化 dp 是否我们直接从牛顿第二定律 d=27a出发推导出 dp -dm d dt dt =∑Fax错误!为什么? 附体△M以速度附着在主体M(速度v)上→一起运动→碰撞问题 时刻(碰撞前): 系统总动量 M P1=△Mu+Mv t+Mt时刻v+△γ(碰撞后) v+△1 =(△M+M)(v+△ 碰撞前后动量变化量:△P=P-P dP 所以总动量变化率: Mdv+( MF dt dt 主体动力学方程 ∑Fa dM 主体运动状态变化(加速度)不仅来源于外力,还有一项附体对主体的影响

变质量系统 一个主体在运动过程中有增加或减少质量现象 （如火箭，下落雨滴），该主体运动状态 必然会受到质量变化的影响，对该主体其牛顿动力学方程？         v K 变化 P Mv = JK K     主体的动量变化                                 M 变化 是否我们直接从牛顿第二定律 ext d P F dt = ∑ JK JK 出发推导出 ext d P dm dv vm F dt dt dt =+ = ∑ JK K K JK     错误！    为什么？ 附体 ΔM 以u K 速度附着在主体 M(速度v K )上 ⇒ 一起运动⇒ 碰撞问题 t 时刻(碰撞前)：                                                                    系统总动量                                                        P Mu Mv i =Δ + JK KK                                                                t t + Δ 时刻v v + Δ K K (碰撞后)：                                                          P M Mv v f = ( )( ) Δ + +Δ JK KK                                                           碰撞前后动量变化量：    Δ= − PP P f i JK JK JK 所以总动量变化率：      0 lim ( ) ext t d P P d v dM M vu F dt t dt dt Δ → Δ = = +− = Δ ∑ JK JK K K K JK                                                 uvv − = ref K K K 主体动力学方程：       ext ref dv dM M Fv dt dt = + ∑ K JK K 主体运动状态变化(加速度)不仅来源于外力，还有一项附体对主体的影响。 u K v K M v v + Δ K K

例题:长为1,线密度为p的柔绳,原先A、B合并,A点悬挂天顶如图所示,B端自由下落 求:B端下落了x距离时,A端所受的张力Fr。 解:1)参考系|:垂直向下为正 F7 2)A端的受力分析 ↓右半部绳充入左半部所 B H入的冲力ydN,=f 重力W 3)主体牛顿方程:M=(-F)+aM 左端绳静止 0 Fr=W+y dM dt W=1"·p·g +x pg 主体长度 右端自由落体l=gt(x==gt u-v=u dh 2W:单位时间内充入左边的质量,只有一半充入左边 ll:单位时间下落的距离 x=0, Fr=Mg +√2gx·P v2gx-P8(+3x 1, F=2Mg

例题：长为 l，线密度为 ρ 的柔绳，原先 A、B 合并，A 点悬挂天顶如图所示，B 端自由下落。 求：B 端下落了 x 距离时，A 端所受的张力 FT 。 解：1）参考系    ：垂直向下为正                              FT 2）A 端的受力分析       A                            右半部绳充入左半部所                                引入的冲力 ref dM v f dt =                           重力 W 3）主体牛顿方程： ( ) T ref dv dM M WF v dt dt =−+ K                        = 0     = ∑Fext      左端绳静止      v = 0 , 0 dv dt = K          T ref dM F Wv dt = + 2 l x Wl g g ρ ρ + =⋅⋅= ⋅ ′ 主体长度 右端自由落体    u gt =     ( 1 2 2 x = gt ) →    u gx = 2                2 ref r u v u gx =−= =               2 dm u dt = ρ     m ：单位时间内充入左边的质量，只有一半充入左边                              u ：单位时间下落的距离                                                     x = 0 , 1 2 FT = Mg ( ) 2 2 ( 3) 2 22 T gl x g gx F gx l x ρ ρ ρ + = + ⋅⋅ = +                                                     x = l , 2 FT = Mg