复旦大学：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第五讲 运动的矢量表达、参照系选取、力、库仑摩擦定律（侯晓远）

第5次课运动的矢量表达、参照系选取、力、库仑摩擦定律)9月19日 Chapter4 Motion in Two and three Dimensions 物理量—矢量表达 位置矢量:r()=x(1)i+y(1)j+=(0)k 速度矢量:v()="(01+,()+(Q)k= 加速度矢量:a()=a()+a,()+a2()k= dy d2r dt dt 通常在解决一些问题时,会把矢量分解成各个分量形式,分别解决各个分量形式的问题。 v(0=vo+at 但有时可以直接以矢量形式解决问题,a为常矢量,则 r(o=ro+vol+=at 举例: 射击下落目标的瞄准问题:子弹在原点以 目标T(下落前的位置) 初速度矢量v射击,轨迹为抛物线 子弹位置矢量rP=vop1+gt ↓g重力加速度 目标的位置矢量rr=ror+gt 在某一时间子弹击中目标,则rP=rr ror=voPt表明vop与ror同向 即瞄准目标物射击,击中目标时间t= 问题:当vop不断减小,还会射中目标吗?

第 5 次课 (运动的矢量表达、参照系选取、力、库仑摩擦定律) 9 月 19 日    Chapter4    Motion in Two and Three Dimensions 物理量    ——    矢量表达 位置矢量：    ( ) () ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ rt xti yt j ztk =+ + K 速度矢量：    () () () () ˆ ˆ ˆ xy z d r vt v ti v t j v tk dt =+ + = K K 加速度矢量： () () () () 2 2 ˆ ˆ ˆ xy z dv d r at a ti a t j a tk dt dt = + + == K K K 通常在解决一些问题时，会把矢量分解成各个分量形式，分别解决各个分量形式的问题。 但有时可以直接以矢量形式解决问题， a K 为常矢量，则    ( ) ( ) 0 2 0 0 1 2 v t v at r t r v t at = + =+ + K K K K KK K 举例： 射击下落目标的瞄准问题：子弹在原点以 初速度矢量vop K 射击，轨迹为抛物线 子弹位置矢量    1 2 2 r v t gt P = + OP KK JK 目标的位置矢量    1 2 2 r r gt T OT = + KK JK 在某一时间子弹击中目标，则    r r P T = K K                                   r vt OT = OP K K     表明vOP K 与 rOT K 同向                               即瞄准目标物射击，击中目标时间 OT OP r t v = K K 问题：当 OP v 不断减小，还会射中目标吗？ P O X Y 目标 T (下落前的位置) vOP K rOT K r P K rT K ↓ g JK 重力加速度

自由落体中的最终速率问题:在媒质中(空气、水、油等)的物体会受到粘滞力D的 Terminal Speed作用,其方向与物体的运动方向相反,其大小与物体速度 等有关 最简单的正比关系:v个→D↑ D=bvb为比例系数 D=bv 物体以最终速率v,下落,作用物体上的力平衡 bv, =mg 1,_mg 在物体达到最终速率之前,v()? D=by a=m 解微分方程,v,(O)=0 显然:im,()=8=1 但实际情况中,D还与物体的大小、形状等因素有关:D=cpAv2 C:系数 p:空气密度 A:有效横截面 问题:如果没有空气阻力,一个在4000m高空下落的雨点(15mm大小),到达地面时其最 终速率为多少?实际值v=7m/s 参照系选取 直接影响到解决或者描述物体运动的复杂性,例如在地心系中,水星的运动轨迹

自由落体中的最终速率问题：在媒质中（空气、水、油等）的物体会受到粘滞力 D 的 作用，其方向与物体的运动方向相反，其大小与物体速度 等有关。                            最简单的正比关系：v D ↑→ ↑                            D = bv      b 为比例系数         物体以最终速率 t v 下落，作用物体上的力平衡                 t bv mg =     t mg v b =          在物体达到最终速率之前，v t( ) ？              y y y dv a m mg bv dt = =−                       解微分方程， (0) 0 y v =                       () 1 bt m y mg vt e b ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠              显然：lim ( ) y T t mg vt v →∞ b = =      但实际情况中，D 还与物体的大小、形状等因素有关： 1 2 2 D c Av = ρ          2 T mg v c Aρ =     问题：如果没有空气阻力，一个在 4000m 高空下落的雨点(1.5mm 大小)，到达地面时其最 终速率为多少？实际值 7 Tv ms = 参照系选取 直接影响到解决或者描述物体运动的复杂性，例如在地心系中，水星的运动轨迹 Terminal Speed D t = bv m mg mg D t = bv m C:    系数 ρ : 空气密度 A:    有效横截面

不同参照系中的相对运动 S参考系以相对S参考 系的恒定速度vs运动 不同参考系之间 ps=/ps'tr 位矢变化 Vps =vps'+vs's 速度变化 加速度不变 质量不变惯性系之间变换保持不变的物理量:不变量 力不变 F=ma牛顿第二定律 在任何一个惯性系中都成立 Chapter 5 Applications of Newton's Laws 量级 作用范围(m) 强相互作用 电磁相互作用 力〈「弱相互作用 万有引力 10-9 具体的力:1)张力( (Tensio 传递性(在轻杆、无重量绳中) 直线性(力的方向) 2)法向力 (Normal Force)垂直于作用面 静摩擦力∫ 3)摩擦力( Frictional Force) a)与面积无关 b)正比于N 动摩擦力∫

不同参照系中的相对运动 不同参考系之间 rrr ps ps s s = +' ' KKK 位矢变化 vvv ps ps s s = +' ' KKK 速度变化 a a ps ps = ' K K 加速度不变    质量不变     惯性系之间变换保持不变的物理量：不变量 力不变                 F ma = JK K     牛顿第二定律            在任何一个惯性系中都成立 Chapter 5    Applications of Newton’s Laws                         力 具体的力：1)    张力(Tension)           传递性 (在轻杆、无重量绳中)                       直线性 (力的方向) 2) 法向力(Normal Force)    垂直于作用面                          静摩擦力 sf      3) 摩擦力(Frictional Force)                             动摩擦力 k f 力 量级 作用范围(m) 强相互作用 1 15 10− 电磁相互作用 2 10− ∞ 弱相互作用 9 10− 15 10− 万有引力 39 10− ∞ S’参考系以相对 S 参考 系的恒定速度vs's K 运动 X’ X Y Y’ Z’ Z O P O’ r ps K r ps' K rs's K a) 与面积无关 b) 正比于 N

f=uN ∫或f f =uN 般情况:4无摩擦力但光滑超过一定极限,∫,个↑大大上升 举例:光胶、硅片 Coulomb laws:1)fk∝N,与接触面积无关 库仑摩擦定律2)f在速度不很大的范围内,与相对速度无关 3)∫在零与一个最大值之间变化,视相对运动趋势的程度而定 例5960ml/h=27m/'s-100km/h汽车无滑动刹车,求刹车距离d 求解过程详见教材 d= ugg 2m与质量无关,与v02正比,与成反比 滚动中摩擦力的方向判断:想象瞬时静摩擦力突然消失,以物体相对运动方向来判断 F 还要具体考虑:转动惯量的大小 4)向心力:一般是由其它力(重力,摩擦力,张力……)提供 Centripetal Force 5)随时间变化的力:F()=m()(0)=n+F(r)d

s s k k f N f N μ μ = = 一般情况： 1 μk s < μ < 实际接触点 它的面积 : 表观面积 4 = 1:10 光滑表面 → 无摩擦力    但光滑超过一定极限， s f ↑↑ 大大上升                                 举例：光胶、硅片 Coulomb Laws:    1) k f ∝ N ，与接触面积无关 库仑摩擦定律    2) k f 在速度不很大的范围内，与相对速度无关                 3)    sf 在零与一个最大值之间变化，视相对运动趋势的程度而定 例 5‐9    60 27 100 mil h m s km h = ∼ 汽车无滑动刹车，求刹车距离 d .                            求解过程详见教材             2 0 62 2 s v d m μ g = =       与质量无关，与 2 0 v 正比，与 μs 成反比       滚动中摩擦力的方向判断：想象瞬时静摩擦力突然消失，以物体相对运动方向来判断                                                   还要具体考虑：转动惯量的大小 4) 向心力：一般是由其它力（重力，摩擦力，张力……）提供     Centripetal Force 5) 随时间变化的力： F t ma t ( ) = ( )     ( ) 0 ( ) 0 1 ' ' t v t v F t dt m = + ∫ F JK s f JK F JK s f JK F mg JK sf 或 k f N JJK