复旦大学：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第十四讲 功，动能，功——能定理（侯晓远）

10月24日第14次课(功,动能,功-能定理) 上次课主要介绍:1)进动 2)章动 的物理机制机制→“惯性”力 3)二自由罗盘 思考问题:4)付科摆 的物理机制? 动能与功能定理 力 运动状态 改变 变 作用于物体 过程 时间积累 只累 空间积 冲量 W=「Fds 冲量一动量定理功一?定理 F→d dp 牛顿定律 S=Fds dt d(mv) 5=vmdv=Fds mvdv=「Fds=W 能:K V=k-K 功一能定理

10 月 24 日    第 14 次课 （功，动能，功‐‐能定理） 上次课主要介绍： 1)    进动                   2)    章动          的物理机制机制 → “惯性”力                   3)    二自由罗盘         思考问题：4)    付科摆        的物理机制？ 动能与功能定理 牛顿定律： d P F dt = JK JK → d P dS F dS dt ⋅ =⋅ JK JK JK JK                          ( ) d S d mv v mdv F d S dt ⋅ =⋅ = ⋅ JK K K K JK JK                          m v dv F dS W ⋅= ⋅ = ∫ ∫ K K JK JK                          1 11 2 22 2 22 f i v f i v m dv mv mv W = − = ∫ 动能： 1 2 2 K = mv      WK K = −f i                     功—能定理 1 2 2 mv 冲量 功 时间积累 空间积累 过程 作用于物体 ？ 变 改 运动状态 改变 力 W F ds = ⋅ ∫ JK K J = Fdt ∫ JK JK ？？ 功—？定理 J = − P P f i JK JK JK 冲量—动量定理 mv K ⇒

恒力做功的功率 平均功率:Ps “泰山挑夫” dn 瞬时功率:P F-=F 举例 汽车经济时速”一讨论 阿基米德的名言 单位时间能做多少功 估算他要跑的路程和时间 变力做功: dW=F·dS W=Fds 举例:弹簧力做功W=Fx=--ktx kxt-=k F力 W与 有关,它起源于18世纪蒸汽机的发明 S位移 当时工程师需要一个比较蒸汽机效率(及功率)的办法(看谁做得好?)。在实践中大 家逐渐同意用蒸汽机举起重物的重量和行程之积来度量机器的输出能力——就是功。 历史上:“死力 活力” 更确切 动能-my2 功能定理源于牛顿第二定律,因而它在所有惯性系中都成立 证明O参照系(v速率相对固定 O参照系 参照系O匀速运动)功能定理成立 则O参照系中功能定理也成立 O参照系

恒力做功的功率： 平均功率： av W P t = 瞬时功率： dW d S P F Fv dt dt = =⋅ =⋅ JK JK JK K     单位时间能做多少功 变力做功： dW F d S = ⋅ JK JK f i W F dS = ⋅ ∫ JK JK 举例：弹簧力做功    1 1 2 2 2 2 f f i i x x f i x x W Fdx kxdx kx kx ⎛ ⎞ = =− − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫          F JK 力 W 与             有关，它起源于 18 世纪蒸汽机的发明          S JK 位移 当时工程师需要一个比较蒸汽机效率（及功率）的办法（看谁做得好？）。在实践中大 家逐渐同意用蒸汽机举起重物的重量和行程之积来度量机器的输出能力——就是功。 历史上：    “死力” → mv            “活力” → 2 mv     ⎯更确切 ⎯⎯→    动能 1 2 2 mv 功能定理源于牛顿第二定律，因而它在所有惯性系中都成立 证明O′参照系（ 0 v 速率相对固定 参照系O 匀速运动）功能定理成立， 则O参照系中功能定理也成立 f F JK d s K i 举例 阿基米德的名言 “汽车经济时速” “泰山挑夫” 讨论 估算他要跑的路程和时间 v′ F K JK 0 v O参照系 O′参照系

证明 力/作用 位移 功 初速 末速 时间 O参照系|Ft W'=FS v=0 O参照系F1S=S+wW=FS"=v=+vm2+ 若O参照系中功一能定理成立:W’=FS' 则在O参照系,力F做的功:W=FS=F(S+) FS+Ftv FS=-m F为冲量,F=m =-mv+ mv1 mv+ mvv W=K,-KO参照系中功一能定理也成立 W 定轴转动的功与转动能 例题:绳与滑轮无相对滑动,m1>m2 问:m1下降了h距离时,它的下降速率v 1)研究系统m、m2、M 2)隔离图 3)坐标系力的分解 牛顿定律 静止 m,g T+ T Mg m,g

证明： 力 作用 时间 位移 功 初速 末速 K f − Ki O′参照系 F t S′ W FS ′ = ′ 0 i v ′ = f v v ′ = ′ 1 2 2 mv′ O参照系 F t 0 S S vt = +′ W FS = i 0 v v = f 0 v vv = + ′ 2 0 1 2 mv mv v ′ ′ + 若O′参照系中功—能定理成立： 1 2 2 W FS mv ′ = =′ ′ 则在O参照系，力 F 做的功：W FS F S v t == + ( ′ 0 )                                     FS Ftv0 = ′ +                                     2 0 1 2 = + mv mv v ′ ′         2 0 1 2 K K mv mv v f i −= + ′ ′ Ft mv = ′         WK K = −f i      O参照系中功—能定理也成立 定轴转动的功与转动能：    1 2 2 f i W dz K I θ θ τ θ ω = = ∫     例题：绳与滑轮无相对滑动， m m 1 2 >        问：m1 下降了 h 距离时，它的下降速率v 1) 研究系统 m1 、 m2 、 M 2) 隔离图 3) 坐标系力的分解         牛顿定律 静止 m2 m1 M R h 1 2 2 FS mv ′ = ′ Ft 为冲量， Ft mv = ′ T2 m g2 m2 + m1 Mg T1 T1 T2 m1g

解:用功能定理 (mg-T)h=÷mv (m28-72)(-h)=m2y2(2) rde=-la T(T-T)Rd0'=(T-T)R0=102 h Ro=y=-MR (7-7)h=M M m,+m, t 思考 m, R R 碰 在 起 两个转盘系统外力矩为零, 为什么角动量不守恒?

解： 用功能定理 ( ) 2 11 1 1 2 mg T h mv − =         (1) ( )( ) 2 22 2 1 2 mg T h mv − −=      (2) 2 0 1 2 d I θ τ θ ω ′ = ∫              (3) () () 2 12 12 0 1 2 T T Rd T T R I θ − =− = θ′ θ ω ∫                           h      R v ω =     1 2 2 I = MR ( ) 1 2 1 4 T T h Mv − =           (3) 1 2 1 2 2 2 m m v gh M m m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 思考： R2 ω2 m2 R1 ω1 m1 碰在一起 两个转盘系统外力矩为零， 为什么角动量不守恒？