复旦大学：《大学物理》课程教学资源（电子教案）第二十二讲 伯努利方程及应用_粘滞流体_动态升力（侯晓远）

第22次课伯努利方程及应用粘滯流体动态升力20071121 伯努利方程: 流体质元 1)周围流体的作用 2)外界环境作用,如重力、电磁力、惯性力… 6m2 x Sm, =Sm=sm +F2=A22 6m1 F=Ap 流管 V2 W=W1+W2+W=4Px+(-4P2Ox)+[-6mg(y2-1 P1Sm-P2Sm-8I VI 功能定理:W=△K=6m2-6mn26m=pAv1=p2v2 P,+p +pgy,=p2+pv2 +pgy2 体密度 功动能重力势能 p+p2+pgy= const定常流动 压强动压静压在流线上各点相等 流线上的不变量 静止流体:V=2=0,伯努利方程→>P1=P2+pg(y2

第 22 次课    伯努利方程及应用_粘滞流体_动态升力 2007.11.21 伯努利方程： W W W W A p x A p x mg y y ext = + + = +− +− − 1 2 3 11 1 2 2 2 2 1 δ δδ ( ) ⎡ ( )⎤ ⎣ ⎦                    ( ) 1 2 2 1 p p δ δδ m m mg y y ρ ρ =−− − 功能定理： 2 2 2 1 1 1 2 2 W K mv mv ext =Δ = − δ δ      m Av Av 11 2 2 δ = ρ ρ =            2 2 1 1 12 2 2 1 1 2 2 p v gy p v gy + + =+ + ρρ ρρ                 体密度            功    动能    重力势能               1 2 2 p v gy const + += ρ ρ      定常流动            压强    动压    静压    在流线上各点相等                                    流线上的不变量 静止流体： 1 2 v v = = 0 , 伯努利方程 → p1 2 21 =+ − p gy y ρ ( )                                                      h g JK 1) 周围流体的作用 2) 外界环境作用，如重力、电磁力、惯性力…… 流体质元 F1 11 = A p 流管 2 y 1 y 2 δ x x m2 δ mmm 1 2 δ = δ δ = m1 δ 1 δ x F2 22 = A p P Q R

伯努利方程的应用: 1)小孔的流速 Pa tapa t pga= p tpvs t pgy h Pa=Pb=Po va 2)水龙头水流 A2,A,h,求v P, topi+Pg,= p2+pv2+pgy2 A1,v1 P1=P2 h pv2=pv+Pg(y-y2 A A V=A ghat V42-42 3)文丘里流量计 求v ↓A 水平方向伯努利方程 PI P2+P2 Pr 竖直方向静压 y p2 P=p,+pgy,=p2+pgy2+pgh h 连续性方程:4v1=A22 pv2-pv=p1-P2(p'-p)gh AV,=A, ( (e

伯努利方程的应用：    1) 小孔的流速： 1 1 2 2 2 2 a a ab b b p v gy p v gy + + =+ + ρρ ρρ a b 0 p = p p =     0 a v = v g y y gh b ab = −= 2 2 ( ) 2) 水龙头水流 已知， A2 , A1 , h ，求 1 v 2 2 1 1 12 2 2 1 1 2 2 p v gy p v gy + + =+ + ρρ ρρ 120 p = p p = ( ) 2 2 2 1 12 11 2 2 1 1 2 2 v v gy y Av Av ρ ρρ =+ − = 2 2 1 2 2 1 2 2ghA v A A = − 3) 文丘里流量计 求 v 解：      水平方向伯努利方程：          2 2 1 12 2 1 1 2 2 p vp v + =+ ρ ρ 竖直方向 静压：      1 12 2 p = p gy p gy gh + =+ + ρ ρ ρ′ 连续性方程： Av Av 11 2 2 = ( ) 2 2 2 1 12 11 2 2 1 1 2 2 v v p p gh Av Av ρ ρ ρρ − =−= −′ = ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 gh vv A A A ρ ρ ρ ′ − = = − v b a h h 1 1 A ,v 2 2 A ,v h h A2 A1 v 1 p 1 y ρ′ p 2 p ′ 2 p 2 y ρ p

4)旋转对称水壶 底面有一个半径为r的小孔,液体在通过小孔泄露时,壶内液面匀速率l下降,求 壶的形状y~x,已知u,r 解:(伯努利方程:P0+Pn2+P8y=P+P 连续性方程:rx2=vz2 1|=2 -gi or 古代用漏壶液面下降计时 伯努利方程适用条件 流线上:p+py2+pgy= const定常流动、理想流体、非转动 对于转动流体,不能直接用伯努利方程,但可以直接从流体质元出发解决问题 举例:旋转水桶的液面 解:1)径向平衡 P(r)△S+△mor-p(r+r)△S=0 离心力 )竖直方向平衡 p()=P+pg(h+=(r) 惯性离心力 p(r+Ar)=Po+pg(h+=(/+Ar) g 联立以上三个方程:=(+M)--()=N=rMr dz 当r=0,z=0 旋转抛物面 p(, h)=Po+pgh+p 2 r,h函数,不同的r,产生压差

4) 旋转对称水壶 底面有一个半径为 r 的小孔，液体在通过小孔泄露时，壶内液面匀速率u 下降，求 壶的形状 y x ∼ , 已知u , r 解：    伯努利方程： 2 2 0 0 1 1 2 2 p u gy p v + + =+ ρ ρ ρ        连续性方程： 2 2 ux vr π = π          4 2 4 1 2 x u gy r ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠        ( ) 24 4 4 2 ux r y gr − =     ≈    2 4 4 2 u x gr      古代用漏壶液面下降计时                                                   伯努利方程适用条件 流线上： 1 2 2 p v gy const + += ρ ρ     定常流动、理想流体、非转动流体 对于转动流体，不能直接用伯努利方程，但可以直接从流体质元出发解决问题 举例：旋转水桶的液面 解： 1)    径向平衡:    () ( ) 2 pr S m r pr r S Δ +Δ − +Δ Δ = ω 0            离心力       2)    竖直方向平衡           p() () r p gh zr =+ + 0 ρ ( )           p( ) r r p gh zr r +Δ = + + +Δ 0 ρ ( ) ( )       联立以上三个方程： ( ) () 2 z r r zr z r r g ω +Δ − =Δ = Δ                          2 z r r g Δ ω = Δ ⎯Δ → ⎯⎯r 0 →    2 0, 0 dz r dr g r z ω = 当 = = ⇒ 2 2 2 z r g ω =        ( ) 2 2 0 , 2 p r h p gh r ω =+ + ρ ρ        r h, 函数，不同的 r ，产生压差 x  r x y x 2r u v g JK 0 p r z( ) ? h ω 惯性离心力 Δr r ΔS z r 旋转抛物面

动态升力: 上下流速相同 上下流速不同个F 旋转球表面的流线发生变化 高尔夫球面为什么有许多凹坑? 机翼 流速大 气流 流速小 气流反作用于机翼 粘滞流体: 流体中各相邻质元部分会发生相对移动(滑动),必然会 产生阻碍其相对滑动的力,这种力我们称为“粘滞力”。 既存在于流体与器壁的界面,也存在于流体内部,也称 为摩擦力。 粘滞力正比于速度在其垂直方向空间变化率,即梯度 ,还正比于质元的面积△A 故:∫=nA 7:比例系数,粘滞系数,单位:N·sm或Pas dy 速度在y方向上的梯度 7(20°C 空气 18×10 估算磁悬浮列车轨道 的粘滞阻力: 水 10×10-3 甘油 1.5

动态升力： 粘滞流体：       流体中各相邻质元部分会发生相对移动（滑动），必然会 产生阻碍其相对滑动的力，这种力我们称为“粘滞力”。 既存在于流体与器壁的界面，也存在于流体内部， 也称 为摩擦力。 粘滞力正比于速度在其垂直方向空间变化率，即梯度 dv dy ，还正比于质元的面积 ΔA 故： dv f A dy = Δη                 η : 比例系数, 粘滞系数, 单位: N sm ⋅ 或 Pa s⋅          速度在 y 方向上的梯度     η (20 C) D 空气 5 1.8 10− × 水 3 1.0 10− × 甘油 1.5 # 上下流速相同 上下流速不同 F JK 旋转球表面的流线发生变化. 高尔夫球面为什么有许多凹坑？ 机翼 流速大 流速小 气流 气流反作用于机翼 估算磁悬浮列车轨道 的粘滞阻力：      ∼1N dy v dv + K K v K y