安徽建筑工业学院：《弹性力学》第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理（局部性原理）

平面问题小结 平面问题基本未知量 平面应力问题 平面应变问题 、应力分量{o} o(x,y),o, (x,D), t,(,y) (x,y), o (x,y),t(x,y) (3个) 独立的(3个) 2、应变分量E E,(x,y)E,(x,y)y(xy)c:c(xy)e,(xy)y(xy) 独立的(3个) (3个) 3、位移分量 n(x,y)(x,y)独立的(2个)(xy)u(x,y)(2个

平面应力问题 平面应变问题 一. 平面问题基本未知量 (x y) x y (x y) xy y x  , , ( , ), , 1、应力分量 （3个） ( ) ( ) ( ) xy z x y  x, y , x, y ,  x, y , 独立的（3个） 2、应变分量 ( ) ( ) ( ) z xy x y  x, y ,  x, y , x, y , 独立的（3个） (x y) (x y) (x y) xy x y  , ,  , , , （3个） 3、位移分量 u(x, y),v(x, y),w 独立的（2个） u(x, y),v(x, y)（2个）   f  平面问题小结

二.平面问题基本方程 平面应力问题 平面应变问题 1、平衡微分方程(2个) OX a,+X=0 (2-2) 同左 O +Y=0 Ov 2、几何方程(3个) ou ax Ou 同左 (2~3) Ol ou Cx Ov

平面应力问题 平面应变问题 二. 平面问题基本方程 1、平衡微分方程 + = 0  +    X x y  x  yx + = 0  +    Y x y  xy  y （2-2） 同左 （2个） 2、几何方程（3个） − − −（2 ~ 3）            +   =   =   = y u x v y v x u xy y x    同左

3、物理方程(3个) 8r=orlov E E E,=(oy-x)(2~12)16,=E )(2~13) E 2(1+4) E xy G E 1-m2(E:+HE) 用下式代换: E E (En+HE)(2~12a)E E 2(1+1)x

3、物理方程（3个） (2～12） 1 ( ) 1 ( ) 1          = = − = −         x y x y y y x x x y G E E （２～１３）              + = − − − = − − − =                xy xy y y x x x y E E E 2(1 ) ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 （ a） E E E xy xy y y x x x y 2 ~ 12 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2            + = + − = + − =              用下式代换：     −  = −  = 1 , 1 2 E E

§2~6边界条件 对于上述所谈及的两种平面问题: 平衡方程(2~2) 2个 物理方程(2-12)—3个八个方程 几何方程(2~8)—3个 含 oxO ExEr 共计八个未知函数 注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求 解时会产生待定函数所以要想得出具体的解 答还必需利用边界条件来确定待定函数

对于上述所谈及的两种平面问题： 平衡方程（2~2） ——2个 几何方程（2~8） ——3个 物理方程（2~12）——3个 注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求 解时会产生待定函数;所以要想得出具体的解 答还必需利用边界条件来确定待定函数。 共计八个未知函数 含 、 、 、 、 、 、u、v xy  x  y  xy  x  y  §2~6.边界条件 八个方程

位移边界条件 在位移边界问题中,物体在全部边界上的位移 分量是已知的,即:u.=.=p-(2~14) 式中: 是位移的边界值; 1、V 边界上坐标的已知函数或边界上 已知的位移分量。 应力边界条件 应力分量与面力分量之间的关系 在全部边界上应力边界条件已知

在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移 分量是已知的，即： 式中： —是位移的边界值； — 边界上坐标的已知函数或边界上 已知的位移分量。 二、应力边界条件 ——应力分量与面力分量之间的关系 在全部边界上应力边界条件已知。 us = u, vs = v —（２～１４） us 、vs u、v 一.位移边界条件

1.在边界上的楔形体(单位厚度)如图所示: 弹性体内单元体斜面上 的应力分量与坐标面应 力的关系有 X xy 单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件 D

１.在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： yx  xy   x  y Xn Yn x f y f 弹性体内单元体斜面上 的应力分量与坐标面应 力的关系有                 =    m l Y X yx y x xy n n     单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件         =             y x s yx y x xy f f m l    

即有: O +m x (2-15 m(O)+1:(zx)=y ().(zn)为应力的边界值 2.特例-边界面与坐标轴平行时 (1)右两面: x 上面:l=0,m=-1 7=±1(o),=+X 左面 右面: 1=l 1m=0(z)= m=0 m=0 下面:l=0,m=1

、 为应力的边界值 — x s yx s y s xy s y x s yx s x m l f l m f ( ) ( ) (2 15) ( ) ( ) ( ) ( )       −      +  =  +  = 即有： 2.特例--边界面与坐标轴平行时 o x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y    = =  =  =  m 0 Y l 1 X xy s x s ( ) ( )   (1).左右两面：

1=0(O,)=土 (2).在上下两面 土1(z 注:A在边界上,应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当 边界的外法线沿坐标轴正向时,两者正负号相同,当边界的 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反 B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 负面负向为正,其余为负。 举例: f1=0,f=q 右:(G)=-ql2(z),=0 左:(,),=-ql,(n) 0 y 1=0上:(a,)=-q1(c).=0 下:()=-ql,(x)=0 f=0.f,=-1

ql 0 ql 0 ql 0 ql 0 y s yx s y s yx s x s xy s x s xy s = − = = − = = − = = − = :( ) ,( ) :( ) ,( ) :( ) ,( ) :( ) ,( )         下 上 左 右 = 0 = − y x f f ql = 0 = y x f f ql f f ql x y = 0, = f f ql x y = 0, = − x y (2).在上下两面     =  =  = =  s x yx y s y m f l f 1 ( ) 0 ( )   A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当 边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当边界的 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。 举例： B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 负面负向为正，其余为负。 注：

混合边界条件 、在一部分边界上的位移分量为已知,另一部分 界上应力分量已知。 2、在同一边界上,已知一个位移分量和一个应力 分量。 图a) 图(b) x O x 0 )=f0 f,=0 v=0

1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分 界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力 分量。 x y     = = = 0 ( ) 0 v f vs  x s x 图(b) x y o 图(a) 0 0 = = = = y xy s f u u  三.混合边界条件

例1:小锥度杄承受轴向拉力。利用边界条件证明,横截面上, 除正应力Oy外,还有剪应力矿x。并确定边界上Ox、 的关系 解: 1=cos(n, x)=cos a m=cos(n,y =sin a 由 (o.)+m f (x)+m Jf S (o,) cosa+( m )sin a=0 (a)=a,g2a=1、g2a ().cosa+(,)sina=0 g

例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上， 除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上 、 与 的关系。 xy  y  xy   y  x A( y) P 解：  y = ( ) ( )   cos , sin cos , cos = = = = m n y l n x 由 ( ) ( ) ( ) ( ) y s y s xy x s x s xy m f m f + = + =       ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin 0 cos sin 0 + = + =         s y s xy s x s yx ( ) ( )     2 2 t g A y p y t g x s = = ( ) ( )    t g A y p t gy s xy = − = − P y o y   n y f x f xy   y  x yx 