株洲工学院土木系：《理论力学》第十五章 达朗贝尔原理

15达朗贝尔原理 15.1惯性力的概念 设有质点M,质量为m,在外力作用下,以加速度a运 动,根据牛顿第二定理,有:F=ma。由反作用力定律 可知,质点必须同时对施力物体有一反作用力,其大小 与F相同,方向相反F=ma,。则F称为惯性力 个具有加速度的质点的惯性力,大小为质点的质 量与加速度的乘积,而方向与加速度方向相反,惯性力 作用在使该质点产生加速度的施力物体上 在自然坐标系中,切向惯性力和法向惯性力在自然 坐标轴上的投影为: 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 15 达朗贝尔原理 15.1 惯性力的概念 设有质点M，质量为m，在外力作用下，以加速度a运 动，根据牛顿第二定理，有：F=ma 。由反作用力定律 可知，质点必须同时对施力物体有一反作用力，其大小 与F相同，方向相反F ’ =-ma，。则F ’称为惯性力。 一个具有加速度的质点的惯性力，大小为质点的质 量与加速度的乘积，而方向与加速度方向相反，惯性力 作用在使该质点产生加速度的施力物体上。 在自然坐标系中，切向惯性力和法向惯性力在自然 坐标轴上的投影为： dt dv F m J  = −  2 v F m J n = −

在直角坐标系中,惯性力在各坐标轴上的投影为: n-12 2 =-m.=-m 152质点的达朗贝尔原理 质量为m的质点M受主动力F和约束力N的作用设F和 N的合力为R质点的加速度为a,则R=ma,即F+N ma假想加上惯性力F=ma,其中F与R大小相等,方向相 反,合力等于零,则F+N+F=0 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 2

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 在直角坐标系中，惯性力在各坐标轴上的投影为： 2 2 dt d x F max m J X = − = − 2 2 dt d y F may m J y = − = − 2 2 dt d z F maz m J z = − = − 15.2 质点的达朗贝尔原理 质量为m的质点M受主动力F和约束力N的作用,设F和 N的合力为R,质点的加速度为a,则R = ma，即F + N = ma.假想加上惯性力F J=-ma,其中F J与R大小相等,方向相 反,合力等于零,则 + + = 0 J F N F

表明:如果在运动的质点上加上惯性力,则作用在 质点的主动力,约束反力与惯性力形成平衡力系,这就 是质点的达朗贝尔原理。 【例题15-1】【例题15-2】可以作简单讲解 153质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化F+N2+F1=0 在质点系中的每一个质点上加上相应的惯性力,则作 用在质点系的所有主动力,约束反力与所有质点的惯 性力形成平衡力系,这就是质点系的达朗贝尔原理。 惯性力系的简化结果: (1)刚体作平动 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 表明：如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在 质点的主动力，约束反力与惯性力形成平衡力系，这就 是质点的达朗贝尔原理。 【例题 15-1】【例题 15-2】可以作简单讲解。 15.3 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 + + = 0 J Fi Ni Fi 在质点系中的每一个质点上加上相应的惯性力，则作 用在质点系的所有主动力，约束反力与所有质点的惯 性力形成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。 惯性力系的简化结果： （1）刚体作平动

设刚体作平动,某瞬间的加速度为a,则各质点的惯性 力FJ=ma,组成的惯性力系为一同向平行力系,可进 步合成为一个合力: F=∑=∑m=m=m 其中,F过刚体的质心 (2)刚体作定轴转动 设刚体质量为m,角速度为o,角加速度为ε,刚体质心 的角速度为a,,则: F=∑=2m=①m)=-m ∑M(y)=∑M6G)=∑ mi 8.i Om2)e=ze 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 4

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 设刚体作平动，某瞬间的加速度为a，则各质点的惯性 力Fi J=-mai 组成的惯性力系为一同向平行力系，可进一 步合成为一个合力： （2）刚体作定轴转动 设刚体质量为m,角速度为ω，角加速度为ε，刚体质心 的角速度为a τ ，则： F F mi a mi a ma J i J = = − = −( ) = − 其中，F J过刚体的质心。 F F mi a mi a ma J i J = = − = −( ) = −     i i i i i Z J i J i J M =M (F ) =M (F ) =− m r r = −(m r ) = −J 2 0 0

【例题15-3】重力为的两个物体A和B,系在一无重力绳 的两端,绳绕过半径为R的无重力定滑轮,光滑斜面的 倾角为α。求物体A下降的加速度及轴O的反力 解:取物体A和B,滑轮和绳组成的系统为研究对象, 质点系的外力有两个物体的重力P和PB,轴的反力X和 Yo光滑斜面的反力NB,假想地加上惯性力 g xx选取坐标系如图所示,取O为 B FB矩心,列平面平行力系的平 B 衡方程: B 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 【例题 15-3】重力为的两个物体A和B，系在一无重力绳 的两端，绳绕过半径为R的无重力定滑轮，光滑斜面的 倾角为α。求物体A下降的加速度及轴O的反力. 解：取物体A和B，滑轮和绳组成的系统为研究对象， 质点系的外力有两个物体的重力PA和PB，轴的反力XO和 YO光滑斜面的反力NB ,假想地加上惯性力 a g P F F J B J A = = O A PB NB F ’ B y x F ’ B a B PA α x0 Y0 选取坐标系如图所示，取O为 矩心，列平面平行力系的平 衡方程：

X=0 0-FB coSd-PB sinacosa=0 Y=0 A-FB SIna-PBSin-a=0 MO(F)=0 PBRsina-PAR+FAR+FBR=O 由(3)求得: a=°(1-sina) 代入(1),(2)式: + sin a)cos a a(l+sin a) 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 由（3）求得： X = 0 0 − cos − B sincos = 0 J X FB P Y = 0 sin sin 0 2 0 + − −  − B  = J A B J Y FA P F P M0 (F) = 0 P Rsin − P R + F R + F R = 0 J B J B  A A (1 sin ) 2 = −  g a 代入（1）,（2）式： (1 sin)cos 2 0 = + P X 2 0 (1 sin ) 2 = a +  P Y

15.5刚体的惯性积及惯性矩 如果以三个相互垂直的对称轴为坐标轴,而转动惯量 之间的关系为:x+12+Jz+=1 则轴x1y1z1称为刚体在O点的惯性主轴 【例题15-8】由等腰直角三角形的匀质薄板,两腰 长为a,质量为m,求其对两直角边的惯性积 解:取坐标系如图所示,将三角形薄 板分成无数平行于X轴的狭长条,考察 纵坐标为Y的狭长条内任意微段dx,横 坐标为X,质量为dm, O dm dxdy am 2 2 xy- dxdy 并且L=ay xy dxdy 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 15.5 刚体的惯性积及惯性矩 如果以三个相互垂直的对称轴为坐标轴，而转动惯量 之间的关系为： 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 J X x + JY y + JZ z = 则轴x1,y1,z1称为刚体在O点的惯性主轴. 【例题 15-8】由等腰直角三角形的匀质薄板，两腰 长为a，质量为m，求其对两直角边的惯性积。 x y L O dy dx 解：取坐标系如图所示，将三角形薄 板分成无数平行于X轴的狭长条，考察 纵坐标为Y的狭长条内任意微段dx，横 坐标为X，质量为dm， ∵ 2 2 a dxdy m dm = ∴ dxdy a m dm 2 2 = dxdy a m J xy a l XY   = 0 0 2 2 并且 L=a-y ∴ 2 0 0 2 12 2 1 xy dxdy ma a m J a a y XY = =   −

小结 (1)掌握质点的达朗贝尔原理及惯性积的基本概念 (2)了解刚体惯性力系的简化。 作业: 15-315-9 01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 8

01-11-14 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 小结： （1）掌握质点的达朗贝尔原理及惯性积的基本概念。 （2）了解刚体惯性力系的简化。 作业： 15－3 15－9