株洲工学院土木系：《理论力学》第三章 平面力偶系

3平面力偶系 3.1平面力对点之矩的概念与计算 力对刚体的作用效应有两个:移动和转动。力对 刚体的移动效应用力矢来表示,力对刚体的转动效应用 力矩来表示,力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的 强弱程度的物理量。 3.1.1力对点的矩 平面力对点之矩是一个代数量,它的大小为力的大小与力臂的 乘积,它的正负可按如下方法确定:力使物体绕矩心作逆时针转 动时,矩为正;反之为负。力对点之矩的记号为MoF,公式为 Mo(F)=±Fh由图3-1可见,力对点之矩的大小也可由三角形的 两倍表示:Mo(F)=2△OAB面积。力对点之矩可用矢积表示: Mo(F)=r×F 01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 3 平面力偶系 3．1 平面力对点之矩的概念与计算 力对刚体的作用效应有两个：移动和转动。力对 刚体的移动效应用力矢来表示，力对刚体的转动效应用 力矩来表示，力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的 强弱程度的物理量。 3.1.1 力对点的矩 平面力对点之矩是一个代数量，它的大小为力的大小与力臂的 乘积，它的正负可按如下方法确定：力使物体绕矩心作逆时针转 动时，矩为正；反之为负。力对点之矩的记号为Mo(F),公式为 Mo(F) = ± Fh,由图3-1可见，力对点之矩的大小也可由三角形的 两倍表示：Mo(F) =2△OAB面积。力对点之矩可用矢积表示： Mo(F) = r×F

矩的大小正是三角形OAB的两倍,矩的指向和转向 用右手法则表示。 3.12合力矩定理 定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等 于所有各分力对同一点之矩的代数和。 2 B F R O F 01-1105 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 矩的大小正是三角形OAB的两倍，矩的指向和转向 用右手法则表示。 3.1.2 合力矩定理 定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等 于所有各分力对同一点之矩的代数和。 B O A F r h F2 F1 R Fi Fn o r

证明:有平面共点力系如图3-2所示,任取矩心O 点,有矢量式 R=F1+F2+….+Fn M(R)r×F=r×(F1+F2+…+Fn) =m(F1)+m。(F2)+…+m(Fn)=∑m。F 各力均在同一平面内,故各力矩(用矢积表示)平 行,满足代数关系 M(R)=m。(F1)+m。(F2)+…+m0(Fn)=∑m(F;) 【例题3-2】简支梁AB受三角形的分布荷载作用,荷 载的最大值为q,梁长为L。求合力合力作用线的位置。 解:取A为坐标原点,距A端为x的微段dx的力q(x) q(x=q 01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 证明: 有平面共点力系如图3-2所示，任取矩 心O 点，有矢量式 R = F1 + F2 + … + Fn Mo (R)= r × F = r × (F1 + F2 + … + Fn ) = mo (F1 ) + mo (F2 ) + … + mo (Fn ) =∑mo (Fi ) 各力均在同一平面内,故各力矩（用矢积表示）平 行，满足代数关系 Mo (R) = mo (F1 ) + mo (F2 ) + … + mo (Fn ) = ∑mo (Fi ) 【例题3-2】简支梁AB受三角形的分布荷载作用，荷 载的最大值为q,梁长为L。求合力合力作用线的位置。 解：取A为坐标原点，距A端为x的微段dx的力q(x) ∴ q L x q(x) =

L Q 0=L q()dx=qL q( q A B∴Q×h=(x)xtx=22 dx h h==l 计算结果表明:合力大小等于三角形分布荷载的面 积,合力作用线过三角形的几何形心。 3.1.3平行力的合成 3.1.3.1两个同向平行力的合成 3.1.3.2两个反向平行力的合成 01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 4

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 Q q(x) x dx h L A B q ∴ ∴ Q q x dx qL L  = = 0 2 1 ( ) 2 0 3 1 Q h q(x)xdx qL l   = = h L 3 2 = 计算结果表明：合力大小等于三角形分布荷载的面 积，合力作用线过三角形的几何形心。 3.1.3 平行力的合成 3. 1. 3. 1 两个同向平行力的合成 3. 1. 3. 2 两个反向平行力的合成

3.2力偶与力偶系 3.2.1力偶: 我们把两个等值,反向,平行不共线的两个力组成的力 系称为力偶。 力偶两力间的垂直距离称为力偶臂。 力偶不能和一力等效,即不能合成为一个合力,力偶只 能与力偶合成 3.2.2力偶矩 力偶矩是度量力偶转动效应的物理量,力偶的两力对平 面内任意点O之矩的代数和就是力偶矩 力偶矩定义为力与力偶臂的乘积,记为M,力偶矩的大 小与力及力偶臂的大小有关,与矩心的位置无关。 01-1105 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 3.2 力偶与力偶系 3.2.1 力偶： 我们把两个等值，反向，平行不共线的两个力组成的力 系称为力偶。 力偶两力间的垂直距离称为力偶臂。 力偶不能和一力等效，即不能合成为一个合力，力偶只 能与力偶合成 3.2.2 力偶矩 力偶矩是度量力偶转动效应的物理量，力偶的两力对平 面内任意点O之矩的代数和就是力偶矩。 力偶矩定义为力与力偶臂的乘积，记为M，力偶矩的大 小与力及力偶臂的大小有关，与矩心的位置无关

平面力偶对物体的作用效应与两点有关:力偶矩的大 小;力偶在作用面内的转向 结论:平面力偶矩是代数量,其绝对值等于力于力 偶臂的乘积。正负号表示力偶的转向:逆时针为正, 顺时针为负。 3.3同平面力偶的等效条件 定理同平面内的两个力偶,若力偶矩相等,则彼此等效 注意:这里的力偶矩相等指的是两个方面:力偶矩的大小相 等,力偶矩的转向相同 推论:(1)力偶可在其作用面内任意移转而不改变它对刚体 的作用。 01-1105 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 6

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 平面力偶对物体的作用效应与两点有关：力偶矩的大 小；力偶在作用面内的转向。 结论： 平面力偶矩是代数量，其绝对值等于力于力 偶臂的乘积。正负号表示力偶的转向：逆时针为正， 顺时针为负。 3.3 同平面力偶的等效条件 定理 同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则彼此等效。 注意： 这里的力偶矩相等指的是两个方面：力偶矩的大小相 等，力偶矩的转向相同。 推论：（1）力偶可在其作用面内任意移转 而不改变它对刚体 的作用

(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可以 同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短而不改变 力偶对刚体的作用效应。 所以,确定力偶作用效应的唯一特征量是力偶矩 3.4平面力偶系的合成 作用力共面的力偶系称为平面力偶系。 M=m1+m2+…+mn=∑m 平面力偶系合成结果是一合力偶,合力偶矩等于力偶 系中各分力偶矩的代数和 01-1105 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 （2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以 同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短而不改变 力偶对刚体的作用效应。 所以，确定力偶作用效应的唯一特征量是力偶矩. 3．4 平面力偶系的合成 作用力共面的力偶系称为平面力偶系。 M = m1 +m 2+ … + m n= ∑mi 平面力偶系合成结果是一合力偶，合力偶矩等于力偶 系中各分力偶矩的代数和

35平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的 代数和等于零。 M=m 1+m 2 2+….+mn=∑m;=0 【例题3-4】简支梁AB作用一力偶,其力偶矩的大小 为m,梁长为L,不计自重,求支座A、B的反力。 解 ∑m=0 A B RXL- m=0 A m R A B 01-1105 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 8

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 3.5 平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的 代数和等于零。 M = m 1+m 2+ … + m n=∑mi = 0 【例题3-4】简支梁AB作用一力偶，其力偶矩的大小 为m，梁长为L，不计自重，求支座A、B的反力。 m B RB A RA 解： ∵ ∑m = 0 ∴ RA×L- m = 0 ∴ RA = RB = m/L

小结: 1、掌握两个基本概念:力矩和力偶矩 2、掌握平面力偶系的平衡与合成,特别是平衡方程的 求解。 3、了解平行力系的平衡方程。 【习题3-8】如图所示,铰链四杆机构在图示位置平衡 OA=40cm,OB=60cm,M1=1Nm,杆自重不计,求力偶 矩M2的大小和杆AB所受的力SAB B F 01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 小结： 1、掌握两个基本概念：力矩和力偶矩 2、掌握平面力偶系的平衡与合成，特别是平衡方程的 求解。 3、了解平行力系的平衡方程。 【习题3-8】如图所示,铰链四杆机构在图示位置平衡。 OA=40cm,O1B=60cm, M1=1N.m，杆自重不计，求力偶 矩M2的大小和杆AB所受的力SAB。 m m1 2 B A O1 O 30 m2 S FO1 m1 S FO

解:∵AB是二力杆 可作出杆O1B、OA的受力图 由力偶平衡可得: OAsin30×SAB=M1 AB 5N(拉 又O1B×SAB=M2 M2=3Nm(逆) 作业 3-1(a),(c),(f)3-33-43-53-73-83-9 01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-05 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 解： ∵ AB 是二力杆 ∴ 可作出杆O1B、OA的受力图 由力偶平衡可得：OAsin30×SAB = M1 ∴ SAB = 5 N （拉） 又 O1B×SAB = M2 ∴ M2 = 3 N.m（逆） 作业： 3-1 (a), (c) , (f) 3-3 3-4 3-5 3-7 3-8 3-9