安徽建筑工业学院：《弹性力学》第三章 平面问题的直角坐标解答（3/3）

§3-5楔形体受重力和液压力 楔形体密度为ρ,承受重力 和液压力,液体密度为y。 求应力分量。 解:1)假设应力函数q 楔形体中任一点应力,应该有两部 pg分组成(1)重力引起的与pg成正比 (2)液体引起的与γg成正比,且与x、y 有关。 {G}[力长度]2 量纲分析法: pg、78[力长度予}可能表达式为 长度 Apgx、Bpgy、CYgx、Dγgy [弧度](无量纲)

§3—5楔形体受重力和液压力 g y gy 楔形体密度为，承受重力 和液压力，液体密度为。 求应力分量。 0 x y  解：1）假设应力函数 {} [力]/[长度] 2 量纲分析法： 楔形体中任一点应力，应该有两部 分组成:(1)重力引起的与g成正比; (2)液体引起的与g成正比，且与x、y 有关。 g、 g [力]/[长度] 3 x、y [长度]  [弧度]（无量纲） {}可能表达式为 Agx、B gy、C gx、D gy

其中A、B、C、D为无量纲量,只与a有关。各应力 分量为xy的纯一次式。而由(223)知应力函数 φ(x,y)应为x、y的纯三次式 i o(x, y)=ax+bx'y+cxy'+dy 2)检查o是否满足(2-24)容 4 +2 O满足 ax OxO 3)根据(223)求出应力分量{o} O-9 Xx=2cx+ ody O沙=6a+2b 2 21-g1 2bx-2

其中A、B、C、D为无量纲量，只与有关。各应力 分量为x、y的纯一次式。而由（2—23）知应力函数 （x，y）应为x、y的纯三次式。 设 3 2 2 3 (x, y) = ax +bx y + cxy + dy 2）检查是否满足(2-24）容 2 0 4 4 2 2 4 4 4 =   +    +   x x y y    满足 3）根据（2—23）求出应力分量{；            = − −    = − − = + −   = − = +   = bx cy x y Yy ax by gy x Xx cx dy y xy y x 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2       

4)根据应力边界条件(2-15)边确定常数 a)左面(x=O) no) C =0 pg 2cy=O b)右面( x-ytga) e=cos(n,x)=cos a m=cos(n, y)=cos(+a)==sin a X=0.Y=0

4）根据应力边界条件（2-15）边确定常数 0 y y g gy  a）左面（x=O） ( ) ( ) 0 0 0 = = − = = x xy x x gy    2 0 0 6 6 − =  = = −  = cy c g dy gy d   b）右面（x=ytg） X = 0,Y = 0  ( ) ( )     ) sin 2 cos , cos( cos , cos = = + = − = = m n y  n x n

o.+mIT 由: (z)+m Y cos a(-rgy)-sin a(-2bytga)=0 sin a(6aytga +2by-pgy)+cos a)=0 解得 ctga b 18 g O 2 应力分量(李维解){σ O,=(pgctga-2rgctg'a)x +octg a-pg)y -recto c

由： ( ) ( ) ( ) m( ) Y m X s y s xy s x s xy + = + =       sin (6 2 ) cos ) 0 cos ( ) sin ( 2 ) 0 − + − + = − − − =         aytg by gy gy bytg 解得：       2 3 2 6 3 ctg g b ctg g ctg g a = = − 应力分量（李维解）：        = − + − = − = −              2 2 3 ( ) ( 2 ) gxctg gctg g y gctg gctg x gy xy y x

讨论: 1)σ沿水平方向无变化 MIN n pg y 2)o沿水平方向按直线变化 (pg-rgctg a)y y/x=yoga -rgyctg a y/x=0 3)τ沿水平方向也按直线变 O 化 xy /x=yoga --ryctgd

0 y y g gy   讨论： n x y xy 1） x沿水平方向无变化； 2） y沿水平方向按直线变化； ( ) g gctg y x y ( ) 2 0  = −  −  = ( )    2 gyctg x ytg y = − = 3） xy沿水平方向也按直线变 化 ( )    gyctg x ytg xy = − = ( ) 0 0 = xy x= 