株洲工学院土木系：《理论力学》第二章 平面汇交力系

2平面汇交力系 21平面汇交力系合成与平衡的几何法 21.1平面汇交力系合成的几何法 2 4 F 3 R 结论平面汇交力系合成的结果是一个合力合力的 作用线通过各力作用线的汇交点其大小和方向可 由力矢多边形的封闭边来表示,即等于各力矢的矢 量和R=F1+F2+…+Fn=∑F 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 2 平面汇交力系 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 F1 F2 F3 F4 F1 a F3 c b F2 F4 d R e 结论:平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的 作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可 由力矢多边形的封闭边来表示,即等于各力矢的矢 量和.R = F1 + F2 + … + Fn = Σ F

21.2平面汇交力系平衡的几何法 当力矢多边形自行封闭,即图2-1中 a,e点重合,它表示力系的合力R为零, 于是该力系平衡。反之,平面汇交力 系平衡,则合力R为零,力矢多边形 将自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的充要条件是:力矢多边形自行封闭, 或平面汇交力系的合力为零。 R=F1+F2+.+Fn=∑F=0 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 2.1.2 平面汇交力系平衡的几何法 当力矢多边形自行封闭，即图2-1中 a,e点重合，它表示力系的合力R为零， 于是该力系平衡。反之，平面汇交力 系平衡，则合力R为零，力矢多边形 将自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的充要条件是：力矢多边形自行封闭， 或平面汇交力系的合力为零。 R = F1 + F2 + … + Fn = Σ F = 0

【例题2。1】刚架如图所示。已知水平力P, 不计刚架自重,求支座A、B的反力。 P 2a C D D A B RB A 解:刚架受三力作用平衡。根据三力平衡汇交 定理,A点约束反力的作用线必交于P与Rp的 交点C,作出自行封闭的力矢三角形。 RB AD 故 P AC 2 B 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 3

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 【例题 2。1】刚架如图所示。已知水平力P， 不计刚架自重，求支座A、B的反力。 P C P D 2a a A B RA A C D RB 解：刚架受三力作用平衡。根据三力平衡汇交 定理，A点约束反力的作用线必交于P与RB的 交点C，作出自行封闭的力矢三角形。 故 2 1 = = AC AD P RB ∴ 2 P RB =

R AC √5 R P P DC 2 方向如图所示,这种方法称为图解法。 22平面汇交力系合成与平衡的解析法 22.1力在直角坐标轴上的投影 F 力F在轴上的投影 β 分别为 a B X=Fcosβ A Y=Fcos a O 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 2 5 = = DC AC P RA RA P 2 5 ∴ = 方向如图所示，这种方法称为图解法。 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.2.1 力在直角坐标轴上的投影 B b1 A b2 a2 a1 F α β 力F在轴上的投影 分别为: X＝Fcosβ Y = Fcosα Y O x

即力在某轴的投影等于力的大小乘以力与坐标 轴正向间夹角的余弦。力的投影是代数量,正负看 夹角α,β的大小,当夹角是锐角时,力的投影为正,当夹 角是钝角时为负 分力与投影之间的关系:FX=Xi,Fy=Yj 力的解析表达式为:F=Xi+Yj 其中X,Y为投影,i,j为x,y轴的单位矢量. 知道了力在平面直角坐标系上两个坐标轴的投影 Ⅹ、Y,则力F的大小和方向余弦分别为 F=1x2+ y2, cosa=x/F, cosB=Y/F 力在轴上的投影是代数量,而力沿坐标轴的分力 是矢量 当坐标轴不垂直时,两者的大小不一样: 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 即力在某轴的投影等于力的大小乘以力与坐标 轴正向间夹角的余弦。力的投影是代数量,正负看 夹角α,β的大小,当夹角是锐角时,力的投影为正,当夹 角是钝角时,为负. 分力与投影之间的关系: Fx =Xi ,Fy=Yj ∴ 力的解析表达式为: F =Xi +Yj 其中 X，Y为投影， i , j为 x, y轴的单位矢量. 知道了力在平面直角坐标系上两个坐标轴的投影 X、Y，则力F的大小和方向余弦分别为： F = √x2 + y2 , cosα = x / F , cosβ = Y / F 力在轴上的投影是代数量，而力沿坐标轴的分力 是矢量。 当坐标轴不垂直时，两者的大小不一样：

R R R 22平面汇交力系合成的解析法 Ry=Y1+Y2+…+Yn=∑Yi RX=X1+Ⅹ2+….+xn=∑xi 合力R的大小和方向为: cosa=Rx/R,cos阝=Ry/R R R4+R ∑x)2+ 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 6

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 Y X Y X O RX RY R 2.2.2 平面汇交力系合成的解析法 Ry = Y1 + Y2 + … + Yn = ∑ Yi Rx = X1 + X2 + … + Xn = ∑ Xi ∴ 合力R的大小和方向为： cos α = Rx/ R , cosβ = Ry/ R R = = 2 2 Rx + Ry 2 2 ( ) + ( ) Xi Yi

合力投影定理:合力在某轴上的投影,等于其分 力在同一轴上投影的代数和 矢量投影定理:合矢量在某轴上的投影,等于其 分矢量在同一轴上投影的代数和 【例题2、2】重点讲解a、β的正负号,a、β 表示力与坐标正向夹角 2.2.3平面汇交力系平衡的解析法 ∑X1=02Y=0 平面汇交力系平衡的解析条件是:各力在各 个坐标轴上投影的代数和分别等于零 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 【例题2、2】重点讲解α、β的正负号，α、β 表示力与坐标正向夹角 合力投影定理：合力在某轴上的投影，等于其分 力在同一轴上投影的代数和 矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其 分矢量在同一轴上投影的代数和 2. 2. 3 平面汇交力系平衡的解析法 ∑ Xi = 0 ∑ Yi = 0 平面汇交力系平衡的解析条件是：各力在各 个坐标轴上投影的代数和分别等于零

【例题2、4】起重机支架的AB、AC杆用铰 链支承在立柱上,重物P=20KN,滑轮尺寸和杆 自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。 B Y A 60(○ A D AD OA C AC P 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 8

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 【例题2、4】起重机支架的AB、AC杆用铰 链支承在立柱上,重物P=20KN,滑轮尺寸和杆 自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。 P A B C D 30 60 A P SAC SA B TAD Y X

解:以A为坐标原点,建立x,y坐标轴,列平衡方程: ∑Ⅹ=0,-SAC-Pcos30- TAD COS60=0 >Y=0, SAB-Psin30 TAD Sin60=0 SAC =-27 32 KN SAB=-732 KN 讲解过程中,应该重点强调 1对象的选取(为什么是A点)。 2图示坐标轴的建立(原因是什么) 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学y 9

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 解：以A为坐标原点，建立x,y坐标轴，列 平衡方程： ∑ X = 0 ， - SAC - Pcos30 – TAD cos60 = 0 ∑ Y = 0 , SAB - Psin30 + TAD sin60 = 0 ∴ SAC = -27.32 KN SAB = -7.32 KN 讲解过程中，应该重点强调： 1·对象的选取（为什么是A点）。 2·图示坐标轴的建立（原因是什么）

小结: 1.平面汇交力系是平面力系中最基本的力系,必须 练掌握。 2.重点掌握两个基本概念:投影和分力 3掌握平面汇交力系平衡的解题步骤: 1),由题意选好研究对象。 (2),分析研究对象的受力情况,画受力图 (3),应用平衡条件求解未知量 作业 P182-3、2-5、2-9、2-10、2-11 可重点讲解2-5、2-10、2-12(可在作业后讲解) 01-11-04 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 10

01－11－04 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 小结： 1. 平面汇交力系是平面力系中最基本的力系，必须 熟练掌握。 2. 重点掌握两个基本概念：投影和分力 3.掌握平面汇交力系平衡的解题步骤： （1），由题意选好研究对象。 （2），分析研究对象的受力情况，画受力图。 （3），应用平衡条件求解未知量。 作业： P18 2-3、 2-5、 2-9、 2-10、 2-11 可重点讲解2-5、2-10、2-12（可在作业后讲解）