株洲工学院土木系：《理论力学》第五章 考虑摩擦的平衡问题

5考虑摩擦的平衡问题 5.1摩擦力的性质和滑动摩擦定律 按照相接触物体的运动情况,摩擦可以分为滑动摩擦和 滚动摩擦。 按照接触面的物理性质,摩擦可以分为干摩擦和湿摩擦。 5.1.1静滑动摩擦力 静滑动摩擦力是粗糙接触面切线方向的约束反力,具有 与相对运动趋势相反的方向,其大小由平衡方程决定。 5.1.2临界平衡状态静滑动摩擦定律 逐渐增大切向主动力Q的大小,在物体仍保持静止时 摩擦力的大小恒为F=Q,即摩擦力的大小随切向主动力 Q的增大而增大, 01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 5 考虑摩擦的平衡问题 5.1 摩擦力的性质和滑动摩擦定律 按照相接触物体的运动情况，摩擦可以分为滑动摩擦和 滚动摩擦。 按照接触面的物理性质，摩擦可以分为干摩擦和湿摩擦。 5.1.1 静滑动摩擦力 静滑动摩擦力是粗糙接触面切线方向的约束反力，具有 与相对运动趋势相反的方向，其大小由平衡方程决定。 5.1.2 临界平衡状态 静滑动摩擦定律 逐渐增大切向主动力Q的大小，在物体仍保持静止时， 摩擦力的大小恒为F=Q，即摩擦力的大小随切向主动力 Q的增大而增大

当Q的值增大到一定程度时,物体的 平衡被破坏而产生滑动。物体处于 即将滑动、但尚未滑动的状态称为 临界平衡状态。在临界平衡状态下 静滑动摩擦力的大小达到最大值, F 称为最大静滑动摩擦力,以Fn表 小 在法线方向主动力不变的条件下,静滑动摩擦力的大 小在零与最大静滑动摩擦力之间取值,即 0<F<Fmax 库仑定理最大静滑动摩擦力的方向与相对滑动的趋 势相反,其大小与相接触的两物体间的正压力成正比。 Fmax =fN 01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 当Q的值增大到一定程度时，物体的 平衡被破坏而产生滑动。物体处于 即将滑动、但尚未滑动的状态称为 临界平衡状态。在临界平衡状态下， 静滑动摩擦力的大小达到最大值， 称为最大静滑动摩擦力，以Fmax表 示 . F P N Q 在法线方向主动力不变的条件下，静滑动摩擦力的大 小在零与最大静滑动摩擦力之间取值，即 0 ≤ F ≤ Fmax 库仑定理 最大静滑动摩擦力的方向与相对滑动的趋 势相反，其大小与相接触的两物体间的正压力成正比。 Fmax = f N

【例题5-1】重为Q的物体放在水平面上,f=0.5。当物 体上施加力P=P时,物体静止。求静滑动摩擦力F,逐渐 增加P的值,增大到P=P2时,物体处于临界平衡状态。求 Fnax及P2的大小。 N N F Q max Q 解物体有受主动力向右滑动的趋势,摩擦力的方向向 左,列平衡方程:∑X=0A45-F=0 F=B1·cos45 01-1107 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 【例题5－1】重为Q的物体放在水平面上，f＝0.5。当物 体上施加力P=P1时，物体静止。求静滑动摩擦力F，逐渐 增加P的值，增大到P=P2时，物体处于临界平衡状态。求 Fmax及P2的大小。 P Q 45 N P1 F Q N P2 Fmax Q 解 物体有受主动力向右滑动的趋势，摩擦力的方向向 左，列平衡方程: X = 0 P1  cos45 − F = 0   F = P1  cos45

最大静滑动摩擦力的大小可以用库仑定理求出: Fmax = fN 根据临界平衡状态下的平衡条件: ∑ N-Q-B2c0s45=0 N=O+Bcos45° Fmx=f·N=(2Q+√2P) 4 ∑x P cos 45-F max 0 51.3动滑动摩擦力动滑动摩擦定律(了解一下基本概念) 01-1107 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 最大静滑动摩擦力的大小可以用库仑定理求出： Fmax = f N 根据临界平衡状态下的平衡条件: Y = 0 − − 2 cos45 = 0  N Q P  N = Q + P2 cos45(2 2 ) 4 1 max N Q P2 F = f  = + X = 0 P2 cos45 − Fmax = 0  P2 = 2Q 5.1.3 动滑动摩擦力 动滑动摩擦定律(了解一下基本概念)

52自锁现象和摩擦角 52.1自锁现象 将主动力分解为切向分量W2与 法向分量W1,其值分别为 Y W1=Cosa W=Sina W W 由平衡方程 W,Ⅹ ∑X=0F=W ∑Y=0N=W F< Fmax <fN W2≤fw Wsina fWcosa.. tana <f 01-1107 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 5.2 自锁现象和摩擦角 5.2.1 自锁现象 N F W2 W1 Y X 将主动力分解为切向分量W2与 法向分量W1，其值分别为 W1 = Wcosα W2 = Wsinα 由平衡方程： ∑X = 0 F = W2 ∑Y = 0 N = W1 ∴ F ≤ Fmax ≤f N ∴ W2 ≤ f W1 Wsinα ≤ f Wcosα ∴ tanα ≤ f W

这一结果表明:主动力合力作用线与接触面法线间夹 角的正切小于或等于静滑动摩擦系数f,是有摩擦系 统平衡的充要条件。 在这种情况下,有摩擦的物体是否处于平衡,与主动 力的大小无关,只取决于主动力的合力作用线的方 位。只要主动力的合力作用线的方位满足上式的要 求,无论此力多么大,物体都能平衡,这种情况称 为自锁现象。 5.2.2摩擦角 摩擦角是物体处于平衡状态时主动力与接触面法线间 的最大夹角,摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数f。 自锁条件为:a≤q 01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 6

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 这一结果表明：主动力合力作用线与接触面法线间夹 角的正切小于或等于静滑动摩擦系数f，是有摩擦系 统平衡的充要条件。 在这种情况下，有摩擦的物体是否处于平衡，与主动 力的大小无关，只取决于主动力的合力作用线的方 位。只要主动力的合力作用线的方位满足上式的要 求，无论此力多么大，物体都能平衡，这种情况称 为自锁现象。 5．2．2 摩擦角 摩擦角是物体处于平衡状态时主动力与接触面法线间 的最大夹角，摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数f。 ∴ 自锁条件为： α ≤ φ

上式表明:只要主动力合力作用线位于摩擦角以 内,无论主动力的合力多大,物体都处于静止 平衡状态。当主动力合力作用线位于摩擦角边 界上,即α=φ时,物体都处于临界平衡状态。 【例题5-2】重为Q的物体放在倾角α大于摩擦角qm的 斜面上,另加一水平力P使保持静止。求P的最大值与 最小值。设摩擦系数为f Q (2 Q P N N2 01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 上式表明：只要主动力合力作用线位于摩擦角以 内，无论主动力的合力多大，物体都处于静止 平衡状态。当主动力合力作用线位于摩擦角边 界上，即α = φ时，物体都处于临界平衡状态。 【例题 5-2】重为Q的物体放在倾角α大于摩擦角φm的 斜面上，另加一水平力P使保持静止。求P的最大值与 最小值。设摩擦系数为f. (1) (2) (3) α α α Q P Q P F1 N1 Q P N2 F2

解:先求使物体不下滑的最小力Pnn物体下滑, 所以摩擦力向上图(2) Pmin cosa+ Fi-Osind=0 min s sina-f·cosO coS+f·sina Ni-Pminsina--Ocos a=0 Fi=f·M1 又f=tand sin a-tanom cos a min O=Q. tan(a-om) coS a+ tan om sina 再求使物体不上滑的最大力Pn物体上滑,摩擦力向下 Pmax cos a+ F2-Osina=O max Sina-9cosa=O又 sin a+ anom cos a max Q=9.tan(+如n) cos-tan中 aa SInO min <P<P max 01-1107 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 8

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 解：先求使物体不下滑的最小力Pmin,物体下滑， 所以摩擦力向上图（2） Pmincos + F1 −Qsin = 0 N1 − Pminsin −Qcos = 0 1 N1 F = f  Q f f P     cos sin sin cos min +  −  = f = tan m tan( ) cos tan sin sin tan cos min m m P m Q Q         =  − + − = ∴ 又 再求使物体不上滑的最大力Pmax,物体上滑,摩擦力向下 Pmax cos + F2 −Qsin = 0 N2 − Pmaxsin −Qcos = 0 2 N2 F = f  tan( ) cos tan sin sin tan cos max m m P m Q Q         =  + − + = Pmin  P  Pmax ∴ ∴ 又

5.3考虑摩擦的平衡问题 考虑摩擦的平衡问题与不考虑摩擦的平衡问题在解法 上有两点区别: 是在不光滑接触面上除了有法向反力外,增加了切 向反力,即摩擦力,不仅要列出平衡方程,还要根 据摩擦定律列出补充方程; 二是静滑动摩擦力可以在零和最大静滑动摩擦力之间 取值,求解时应给出解的范围 应用几何法解摩擦平衡问题,就是利用摩擦角的概念 和自锁条件解题 【例题5-3】梯AB长L,一端支于地板,一端支于墙上, 梯与地板成角α若梯与地板和墙的静摩擦角都等于qm,不 计梯重,求重为P的人沿梯上行而不致滑倒的距离 01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 5．3 考虑摩擦的平衡问题 考虑摩擦的平衡问题与不考虑摩擦的平衡问题在解法 上有两点区别： 一是在不光滑接触面上除了有法向反力外，增加了切 向反力，即摩擦力，不仅要列出平衡方程，还要根 据摩擦定律列出补充方程； 二是静滑动摩擦力可以在零和最大静滑动摩擦力之间 取值，求解时应给出解的范围。 应用几何法解摩擦平衡问题，就是利用摩擦角的概念 和自锁条件解题 【例题 5-3】梯AB长L，一端支于地板,一端支于墙上， 梯与地板成角α,若梯与地板和墙的静摩擦角都等于φm,不 计梯重，求重为P的人沿梯上行而不致滑倒的距离

解通过分析可知,人沿梯上行时,A点摩擦力向左,B 点摩擦力向右,当人上行到极限Ⅹ。时,将开始滑动, A、B两点的反力都与接触面的法线成α角,延长RA RB的作用线交于C点,由直角三角形ABC和BCD的几 何关系知:BC=Lcos(+qn) BD=BC coSOm=L cos(a+om)coso ●●●●●●·● Xmax =L-BE=L-BDseca RB L LI-coS(a+(m)cosom seca] E 因此,要使梯不滑倒,人上行的距离应为 X<L LI- coS(a+qm)coSom seca] aNA由此可见,当值给定时,人上升的距离仅 取决于摩擦角,与人的体重无关 01-1107 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-07 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 解 通过分析可知，人沿梯上行时，A点摩擦力向左，B 点摩擦力向右，当人上行到极限Xmax时，将开始滑动， A、B两点的反力都与接触面的法线成α角，延长RA、 RB的作用线交于C点，由直角三角形ABC和BCD的几 何关系知：BC = L cos (α+φm) RA A C O D E B P RB α φm φm BD = BC cosφm = L cos (α+φm)cosφm Xmax = L-BE = L-BDsecα = L［1- cos (α+φm) cosφmsecα］ 因此，要使梯不滑倒，人上行的距离应为 x ≤ L［1- cos (α+φm) cosφmsecα］ 由此可见，当值给定时，人上升的距离仅 取决于摩擦角，与人的体重无关