株洲工学院土木系：《理论力学》第十一章 动力学基本定律和运动微分方程

动力学 11动力学基本定律和运动微分方程 牛顿定律惯性坐标系 动力学的基本定律即所谓的牛顿三定律 第一定律仼何不受外力作用的物体,将保持静止或作 匀速直线运动 第二定律质点受到外力作用时,所产生的加速度的大 小与力的大小成正比而与质点的质量成反比加速度 的方向与力的方向相同:F=ma 第三定律即反作用定律,作用与反作用力同时存在, 大小相等,作用线相同而指向相反 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 动力学 11 动力学基本定律和运动微分方程 11．1 牛顿定律 惯性坐标系 动力学的基本定律即所谓的牛顿三定律 第一定律 任何不受外力作用的物体，将保持静止或作 匀速直线运动。 第二定律 质点受到外力作用时,所产生的加速度的大 小与力的大小成正比,而与质点的质量成反比,加速度 的方向与力的方向相同: F = ma 第三定律 即反作用定律，作用与反作用力同时存在， 大小相等，作用线相同而指向相反

不受外力作用时,物体将保持静止或匀速直线运 动状态的属性叫惯性。匀速直线运动也称为惯性运 动。适用牛顿定律的坐标系称为惯性坐标系 以后如果没有特别说明,则所有运动都是对惯性 坐标系而言,物体在惯性坐标系中的运动称为绝对 运动,将惯性坐标系称为固定坐标系或静坐标系。 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 不受外力作用时，物体将保持静止或匀速直线运 动状态的属性叫惯性。匀速直线运动也称为惯性运 动。适用牛顿定律的坐标系称为惯性坐标系。 以后如果没有特别说明，则所有运动都是对惯性 坐标系而言，物体在惯性坐标系中的运动称为绝对 运动，将惯性坐标系称为固定坐标系或静坐标系

11.3质点运动微分方程 设有一个质点M,质量为m,作用于该质点的所有 力的合力为质点的加速度为a,则m=F d v dr 由运动学可知:a 方程可改写为:mx=F或m F 这就是矢量形式的质点运动微分方程 将其投影到各坐标轴上,得到微分方程: X Z 将其投影到自然坐标轴上,有 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 11.3 质点运动微分方程 设有一个质点M，质量为m ，作用于该质点的所有 力的合力为F,质点的加速度为a，则 ma = F 由运动学可知： 2 2 dt d r dt dv a = = ∴ 方程可改写为： F dt d r F m dt dv m = = 2 2 或 这就是矢量形式的质点运动微分方程. 将其投影到各坐标轴上，得到微分方程： X dt d x m = 2 2 Y dt d y m = 2 2 Z dt d z m = 2 2 将其投影到自然坐标轴上，有 F dt d s m = 2 2 Fn v m =  2

质点动力学的问题基本可以分为两类 (1)已知点的运动规律,求质点所受的力,用微分 方程求解。 (2)已知作用于质点的力,求质点的运动规律,则 归结于求解运动微分方程。一般情况下,作用于质 点的力可能是时间质点的位置坐标,速度的函数 只有函数较简单才能求出微分方程的精确解。所以 对这一类问题,除了作用于质点的力,还须知道质 点运动的初始条件才能完全确定质点的运动 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 质点动力学的问题基本可以分为两类： （1）已知点的运动规律，求质点所受的力，用微分 方程求解。 （2）已知作用于质点的力，求质点的运动规律，则 归结于求解运动微分方程。一般情况下，作用于质 点的力可能是时间,质点的位置坐标，速度的函数。 只有函数较简单才能求出微分方程的精确解。所以 对这一类问题，除了作用于质点的力，还须知道质 点运动的初始条件才能完全确定质点的运动

【例题11-1】摆动输送机由曲柄带动货架AB输送木箱M, 两曲柄等长,即O1A=O2B=AB=L=1.5m设在0=45处由静 止开始启动,已知曲柄OA的初角加速度c=5rad/s,如启动 瞬间木箱不产生滑动,求木箱与货架之间的静滑动摩擦系 数最小值。 O M F A B 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 【例题 11-1】摆动输送机由曲柄带动货架AB输送木箱M， 两曲柄等长，即O1A=O2B=AB=L=1.5m.设在θ=45。处由静 止开始启动，已知曲柄O1A的初角加速度ε0=5rad/s,如启动 瞬间木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系 数最小值。 M O1 O2 ε A B θ Y X N F W ar θ

解:已知运动求力,属第一类问题 取木箱为研究对象,作用在木箱上的力有重力W, 摩擦力F,法向约束反力N由于AB杆作平动所以: L 所以,直角坐标的质点运动微分方程可写为: ∑ ma cos 0= F ∑ ma- sine=N一W 又F≤f.N L·E0cos6 =0.35 8+L Cosine 为保证木箱不滑动,所需最小静滑动摩擦系数为fmin=035 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 6

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 解：已知运动求力，属第一类问题。 取木箱为研究对象，作用在木箱上的力有重力W， 摩擦力F，法向约束反力N.由于AB杆作平动所以： 所以，直角坐标的质点运动微分方程可写为： 0 2 = =  v an 0   a = L = •• Fx m x ma cos = F = •• Fy m y ma sin = N −W F  f  N 0.35 sin cos 0 0 = +        g L L f 又 为保证木箱不滑动，所需最小静滑动摩擦系数为 f min = 0.35

【习题11-5】飞机水平飞行空气阻力与速度平方成正比, 当速度为1m/s时阻力等于0.5N。推进力为衡量,等于 30.8N,且与飞行方向往上成10角,求飞机的最大时速。 解:设空气阻力为F=kv2,当v=1m/s时,F=0.5N 所以系数K=0.5。即:F=0.5V2, 设推进力为T,当飞机达到最大速度,则所有外力在水 平轴上的投影应满足∑ⅹ=0,此时飞机的加速度a=0, T cos100=F=0.5V2 V=246.3m/s 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 7

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 【习题 11-5】飞机水平飞行,空气阻力与速度平方成正比, 当速度为1m/s时阻力等于0.5N。推进力为衡量，等于 30.8N，且与飞行方向往上成100角，求飞机的最大时速。 解：设空气阻力为F = kv2 , 当v = 1m/s时，F = 0.5N 所以系数K = 0.5。即： F = 0.5V2 , 设推进力为T，当飞机达到最大速度，则所有外力在水 平轴上的投影应满足∑x = 0, 此时飞机的加速度a = 0, ∴ T cos100 = F = 0.5V2 ∴ V = 246.3 m/s

【习题11-11】人造卫星绕地球作匀速圆周运动,如卫星 到地心的距离为6370km,求卫星的速度(第一宇宙速度) 解:取卫星为研究对象,物体只受地球引力作用,大小为 F=UomM 由于卫星高度与地球半径相比很小所以可以看成卫 星只受重力作用,只有法向加速度 am m g v=√g=79km/s 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 8

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 【习题 11-11】人造卫星绕地球作匀速圆周运动，如卫星 到地心的距离为6370km,求卫星的速度（第一宇宙速度） 解： 取卫星为研究对象,物体只受地球引力作用,大小为 由于卫星高度与地球半径相比很小所以,可以看成卫 星只受重力作用，只有法向加速度: 2 0 r G mM F = r v an 2 = mg r v man = m = 2 v = gr = 7.9km/s ∴

小结 (1)掌握两类问题的求解方法,特别是对第二类问题, 在求解微分方程时,要注意积分常数的求解以及变量的 分解 (2)注意选取研究对象 作业: 11-111-211-1211-1711-1811-19 01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-11 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 小结: (1) 掌握两类问题的求解方法，特别是对第二类问题， 在求解微分方程时，要注意积分常数的求解以及变量的 分解。 （2）注意选取研究对象 作业： 11－1 11－2 11－12 11－17 11－18 11－19