株洲工学院土木系：《理论力学》第十三章 动量矩定理

13动量矩定理 13.1质点的动量矩定理 设有一质点M质量为m,在力F的作用下运动。任取 固定点O,动点M的位置用矢径r表示,它的动量 为mⅴ。则矢径r与动量mv的矢积r×mV则称为质点 的动量对O点的矩,用L表示。L0=r×mv 动量矩的单位,国际单位制为kg:m2/或NmS,工程单 位制为kgms 将上式求导 (r×m my+r×-(mv)=y×m+r×F v×m=07×F=M( 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 13 动量矩定理 13．1 质点的动量矩定理 设有一质点M,质量为m,在力F的作用下运动。任取 一固定点O，动点M的位置用矢径r表示，它的动量 为mv。则矢径r与动量mv的矢积r×mv则称为质点 的动量对O点的矩，用L0表示。L0 ＝r×mv. 动量矩的单位，国际单位制为㎏·㎡/s或N·m·s,工程单 位制为㎏·m·s 将上式求导： m v v m v r F dt d m v r dt dr r m v dt d dt dl = (  ) =  +  ( ) =  +  0 ∵ v mv = 0 F M0 r  = ∴ 0 0 M dt dl =

质点对于任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用 于质点上的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理 将方程两边投影到xy,z固定轴上,得到 M dt 如果在整个过程中,质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,方程变为 l0=常量 就是说,如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,则质点对于固定点的动量矩保持为常量,称 为动量矩守恒。 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 质点对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用 于质点上的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。 将方程两边投影到x,y,z固定轴上，得到 x x M dt dl = y y M dt dl = z z M dt dl = 如果在整个过程中，质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，方程变为 0 0 = dt dl ∴ l 0 = 常量 就是说，如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，则质点对于固定点的动量矩保持为常量，称 为动量矩守恒

如果在整个过程中,质点所受的力对于某一固定点的 矩始终为零,方程变为 l0=常量 就是说,如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,则质点对于固定点的动量矩保持为常量,称为 动量矩守恒。 【例题13-2】单摆如图所示质点M的质量为m,摆长为L, 如果摆线的初始偏角为φ初速度为零,求单摆作微小摆 动时的运动规律 解:取质点M为研究对象,质点对轴OZ的动量矩为 Lo/(mv)=Lmv=mLφ3,而质点所受的力对轴OZ的动量矩 为 OZ (f=-mglsino 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 如果在整个过程中，质点所受的力对于某一固定点的 矩始终为零，方程变为 就是说，如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，则质点对于固定点的动量矩保持为常量，称为 动量矩守恒。 【例题 13-2】单摆如图所示,质点M的质量为m，摆长为L, 如果摆线的初始偏角为φ0 ,初速度为零,求单摆作微小摆 动时的运动规律。 0 0 = dt dl ∴ l 0 = 常量 解：取质点M为研究对象，质点对轴OZ的动量矩为 LOZ(mv)=Lmv=mL2φ’,而质点所受的力对轴OZ的动量矩 为： MOZ(F) = -mgLsinφ

根据质点的动量矩定理,有 O(z) y (ml)=-mglsin 在微小摆动情况下,sip=q mv 方程为+8g=0 。·° 9=Asin 8 t+a 振幅A及初相位α由初始条件确定 求导:=4B COS t+a 当t=O时,=9=0 0=下2mJC 0=A.cos a A=Po =Po cost 单摆的微小摆动是简谐运动,振幅为2x振动周期为 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 根据质点的动量矩定理，有 在微小摆动情况下，sinφ=φ ∴ 方程为 O(z) x y G T mv M φ ( ) sin 2 ml mgl dt d = − • + = 0 ••   l g          = t + l g Asin 振幅A及初相位α由初始条件确定 求导：         = + •  t  l g l g A cos 当 0时， ＝ 0， ＝0 • t =    0＝Asin 0 cos l g = A 2   = A = 0 t l g cos  = 0 ∴ 单摆的微小摆动是简谐运动，振幅为 振动周期为 0 g l 2

13.2质点系的动量矩 整个刚体对转动轴的动量矩为Lz=J0,其中Jz∑mp2称 为刚体对转动轴的转动惯量。它表明,作定轴转动的刚 体对于转动轴的动量矩,等于刚体对于转动轴的转动惯 量与角速度的乘积。转动惯量是一个正标量,动量矩的 符号与角速度的符号相同。 13.3转动惯量 13.3.1普遍公式 1z=∑m2=m2 长度p称为物体对于转动轴的回转半径,也称惯性 半径。转动惯量总是正标量,它的单位,在国际单位制为 kgm2,在工程单位制为kgms2。 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 13.2 质点系的动量矩 整个刚体对转动轴的动量矩为LZ=JZω,其中JZ =Σmiρi 2称 为刚体对转动轴的转动惯量。它表明，作定轴转动的刚 体对于转动轴的动量矩，等于刚体对于转动轴的转动惯 量与角速度的乘积。转动惯量是一个正标量，动量矩的 符号与角速度的符号相同。 13.3 转动惯量 13.3.1 普遍公式 2 2 JZ =mi i = m m JZ  = 长度ρ称为物体对于转动轴的回转半径，也称惯性 半径。转动惯量总是正标量，它的单位，在国际单位制为 ㎏·㎡,在工程单位制为㎏·m·s2

物体对一轴的转动惯量和对一点的转动惯量的关系 Jo=x+Jv+J3 即物体对一点的转动惯量等于通过该点的三个相互垂直 的坐标轴的转动惯量之和的一半。 【例题13-4】设等截面匀质细杆质量为m,长度为L,计 算该杆对于通过杆端点与杆垂直的轴Y的转动惯量 解:沿杆的轴线建立X轴,取微 分长度dx,视为质点,其质量为 aX dm=-d 到轴Y的距离为X,该微段对轴Y的转动惯量为: 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 6

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 物体对一轴的转动惯量和对一点的转动惯量的关系 ( ) 2 1 0 x y z J = J + J + J 即物体对一点的转动惯量等于通过该点的三个相互垂直 的坐标轴的转动惯量之和的一半。 【例题 13-4】设等截面匀质细杆质量为m，长度为L，计 算该杆对于通过杆端点与杆垂直的轴Y的转动惯量. x y o L x dx 解：沿杆的轴线建立X轴，取微 分长度dx,视为质点，其质量为: dx l m dm = 到轴Y的距离为X，该微段对轴Y的转动惯量为: 2 2 dx x l m dm  x =  2 2 0 3 1 x dx ml l m J l z = = 

134质点系动量矩定理刚体定轴转动微分方程 ∑M5 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于 作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢量和,这就 是质点系的动量矩定理。 dL Z )=∑M 又0=E Z9= 上述动量矩定理表明,矩心是固定点或固定轴,速度 是绝对速度。如取质点系的质心为矩心,动量矩定理同样 适用,这时的速度为相对速度。这就是质点系对于质心的 动量矩定理。 13.5质点系动量矩守恒定理及其应用(略) 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 13.4 质点系动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 = E Moi dt dL0 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于 作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢量和，这就 是质点系的动量矩定理。 ∵ LZ = JZ  = Z = zi z J M dt d dt dL ( ) •• =  =   dt d = •• Z Mzi 又 J  上述动量矩定理表明，矩心是固定点或固定轴，速度 是绝对速度。如取质点系的质心为矩心，动量矩定理同样 适用，这时的速度为相对速度。这就是质点系对于质心的 动量矩定理。 13.5 质点系动量矩守恒定理及其应用（略）

13.6刚体的平面运动的微分方程 【例题13-13】匀质圆轮重P半径为R,沿倾角为α的斜面 滚下,设轮与斜面间的摩擦系数为f求轮心C的加速度及斜 面对轮子的约東力 P 解:取坐标系如图所示,作用于轮子 的外力有重力P法向反力N,摩擦力F, 假定F的方向向上 F N xc=a y=0 轮子的运动微分方程为: a= Psin a-F g 0=Pcosa-N 8= FR 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 8

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 13.6 刚体的平面运动的微分方程 【例题 13-13】匀质圆轮重P,半径为R，沿倾角为α的斜面 滚下,设轮与斜面间的摩擦系数为f求轮心C的加速度及斜 面对轮子的约束力。 解：取坐标系如图所示，作用于轮子 的外力有重力P,法向反力N,摩擦力F, 假定F的方向向上 ac c α x y N O P F ε c ac x = •• = 0 •• c ∵ y ∴ 轮子的运动微分方程为： a P F g P c = sin − 0 = Pcos − N JZ  = FR

该方程组有三个方程,有四个未知量,必须增加一个 补充方程才能求解 (1)假设轮与斜面无滑动,则a=(sing-fcse)g 2 gina posina F=-Psina (2)假设轮与斜面有滑动,则摩擦力F= PR 2f ∴a=R·s且Jz=2g g cos a F=Pf cosa R 学、轮子是否滑动,须视摩擦力是否达到极限值,轮子 不滑,必须满足F≤N Psin a≤ Pf cos a tana≤f 如果3mnas表示轮子只滚不滑; 如果ama>/轮子既滚且滑 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 该方程组有三个方程，有四个未知量，必须增加一个 补充方程才能求解 （1）假设轮与斜面无滑动，则 ∴ sin 3 2 ac = g  sin 3 2 g R = sin 3 1 F = P （2）假设轮与斜面有滑动，则摩擦力 F = fN ∴ ac = (sin − f cos)g g PR a R J c Z 2 2 = 且 =  cos 2 g R f = F = Pf cos 轮子是否滑动，须视摩擦力是否达到极限值，轮子 只滚不滑，必须满足 F  fN ∴ sin cos 3 1 P  Pf ∴ tan  f 3 1 如果 tan  f 3 1 表示轮子只滚不滑； 如果 tan＞f 3 1 轮子既滚且滑

作业: 13-113-413-613-1013-11 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 作业： 13－1 13－4 13－6 13－10 13－11