安徽建筑工业学院：《弹性力学》第二章 平面问题的基本理论 2.4 物理方程 2.5 一点的应力状态

§2.4物理方程 应力分量与应变分量之向的关系 广义虎克定律 ExELox-ucoyto I uL(O ) (2-1O) Zx

§2.4 物理方程 一. 广义虎克定律： —应力分量与应变分量之间的关系 (2 10） 1 1 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 −                  = = = = − + = − + = − +                      z x z x yz yz xy xy z z x y y y z x x x y z G G G E E E

弹性常数间的关系有=5(+ 平面应力问题 G:==Zx=0 Lox-uoy E Ev=lov-uoxI (2-12) E xy G 由(2~7)式可求解出Ox2Oy,x

弹性常数间的关系有 平面应力问题  z =  yz =  xz = 0 (２ 12) 1 [ ] 1 [ ] 1 −          = = − = −         x y x y y y x x x y G E E 2(1+ ) = E G 由（２～７）式可求解出 x y xy  , ,

E 州[=10F u lu 2(Ex+uEy) 2Ey+LEx

            − − =       y x y x E       1 1             − − − −        − −       − − − 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1           求 ，             − =       y x y x E        1 1 1 2 ( ) 1 x 2 x y E     + − = ( ) 1 y 2 y x E     + − =

E2+6=(1-Gx+0,) E (1+)x-(x+,)=EEx 2(Ex+E,) E 同理:y 2(E,+Ex)

(1 )( ) 1 x y x y E  +  = −   + x x y E x (1+ ) − ( + ) =  ( ) 1 x 2 x y E     + − = 同理： ( ) 1 y 2 y x E     + − =

E (E、+HE,) E(artA.) (2-12a) E 2(1+) 平面应变问题E=0 E:=0G:=(+代入(2-10)前两式及(2-12)第三式得 E O (2-13) E 2(1+)

平面应变问题 （ a） E E E xy xy y y x x x y 2 12 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 −            + = + − = + − =               z = 0, z = ( x + y ),代入(2 −10)前两式及(2 −12)第三式得  = 0 z （２−１３）              + = − − − = − − − =                xy xy y y x x x y E E E 2(1 ) ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2

1(O Ex E E (ouo 2(1+) E 方程特点的说明 力学关系、几何关系与材料性质无关,只有物理关系与材 料性质有关;所以,平衡微分方程、几何方程对两种平面 问题是相同的,而物理方程须作代换: E E

方程特点的说明           +  = −   = = −             xy xy y y x x x y E E E 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 ' 力学关系、几何关系与材料性质无关，只有物理关系与材 料性质有关；所以，平衡微分方程、几何方程对两种平面 问题是相同的，而物理方程须作代换： ; 1 , 1 2     −  = −  = E E

§2.5一点的应力状态 一.研究矿象直六面体:dx,dy,单位厚度 坐标面内的应力分量 v aa X 斜面上的应力分量 n 二.斜面上的应力 1.ab,ac,bc面的面积

§2.5 一点的应力状态 二.斜面上的应力 一.研究对象 直六面体: dx,dy,单位厚度. 坐标面内的应力分量  x  y  xy , , 斜面上的应力分量  n  n , yx  xy   x  y x y n a b c   n n  Xn Yn 1.ab,ac,bc面的面积

dSab,dSac=ds ab sin a, dSh =dSab cosa ca/ax, x cosa=l sin a=m n 2.斜面上应力在坐标轴上的分量 n X (2.5-1) x y 3斜面上的正应力与切应力 坐标的旋转变换 P(x,),(x',y) XX X 应力变换 (25-2) m Y

l m dSa b dSa c dSa b dSb c dSa b = = = =     cos ,sin , sin , cos 3.斜面上的正应力与切应力 2.斜面上应力在坐标轴上的分量 Xn Yn ,                 =    m l Y X yx y x xy n n     (2.5-1)                − =      y x m l l m y x 坐标的旋转变换                − =    n n n n Y X m l l m   应力变换 (2.5-2) o x y x  y   P(x, y),(x  , y )  n n   yx xy   x  y x y n a b c  Xn Yn

dS,h,ds=dS,h sin a, dShe =dSab cosa cra/ax, X cosa=l sin a=m 2斜面上应力在坐标轴上的分量X,Xr n n X (2.5-1) x y 3.斜面上的正应力与切应力y (x,y),(x,y) 坐标的旋转变换 XX X 应力变换 (25-2) m Y

3.斜面上的正应力与切应力 坐标的旋转变换 l m dSa b dSa c dSa b dSb c dSa b = = = =     cos ,sin , sin , cos 2.斜面上应力在坐标轴上的分量 Xn Yn ,                 =    m l Y X yx y x xy n n     (2.5-1)                − =      y x m l l m y x                − =    n n n n Y X m l l m   应力变换 (2.5-2) o x y x  y   P(x, y),(x  , y )  n n   yx xy   x  y x y n a b c  Xn Yn

(25-3) .+O 2 2 COS 2a+I sin 2a (2.5-4) sin 2a-I. cos 2a 2 最大应力 1.最大正应力 z.=0

三.最大应力 1.最大正应力  n =, n = 0                      − =    m l m l l m yx y x xy n n       (2.5-3)               sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y n xy x y x y n − − = + − + + = (2.5-4)