安徽建筑工业学院：《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答（9/9）

§4.9半平面体在边界上受集中力 计算模型 1.计算简图 p 单位厚度的受力体一个边界为平 面,而在平面以下为无限大的物 体。略去体力分量,取单位厚度 上所受力为P,应用逆解法求{a} 2.边界条件 0 如如=0 二.拉梅麦克斯方尔直角坐标方程 1.主应力迹线坐标系 主应力G1和a2正交,两个主力 的迹线可以构成正交坐标系 G转到a2逆针向为正而且o增加逆针向转时为S正向

§4.9 半平面体在边界上受集中力 一. 计算模型 p 单位厚度的受力体一个边界为平 面，而在平面以下为无限大的物 体。略去体力分量，取单位厚度 上所受力为P，应用逆解法求{σ}。 1. 计算简图 2.边界条件 0, 0 2 2 = = = =         r 二. 拉梅—麦克斯韦尔直角坐标方程 1. 主应力迹线坐标系 主应力 正交，两个主力 的迹线可以构成正交坐标系 1 和 2  S2 O X Y  1  2 o x φ y  1 转到 2 逆针向为正而且增加逆针向转时为S正向 1 s

2.主应力坐标下的方程 do 十 OIx=O ax (1) # 0,+o (2 △ 根据斜方向上的应力公式的 △中香 +出a Σ+△cos2y) On=(2-△cos2p (3) sIn 图作厅在出边长力形体元上的力 把(3)式代入(1)式得

2. 主应力坐标下的方程 根据斜方向上的应力公式 1 2 1 2      = −  = + （2）           = =  −  =  +        sin 2 2 ( cos 2 ) 2 1 ( cos 2 ) 2 1 xy y x （3） （1） = 0  +    x y  x  yx = 0  +    x y  xy  y 把（3）式代入（1）式得

O∑A 0p,O△ +-cos2小-2△sn2p-++ p sin2小+2△xcos2小=0 若小=0,则cos2=1,sn2=0,ax=ds1,dy=ds2 (+△),2△p 0 (5) S p O中1 则有 S 00y+p2 0 (6a) 同理o2+1-2=0 (6b) ￥无限平面受法向集中力的应力计算 直线=±与小=0上zm=0显然它们是主应力迹线 另一组主应力迹线与其正交,故必为一组半圆弧

cos 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 = 0   +    +   −    +         x x x y y 1 2 若 = 0，则cos2 =1,sin 2 = 0,dx = ds ,dy = ds 0 ( ) 2 1 2 =   +    +  s s  (5) 2 2 1   =  ds 则有 0 2 1 2 1 1 = − +       s (6a) 0 1 1 2 2 2 = − +       s 同理 (6b) 三. 半无限平面受法向集中力的应力计算 直线 0 0 2 =   =   =   与 上 显然它们是主应力迹线 另一组主应力迹线与其正交，故必为一组半圆弧 p o x φ y 

1→>∞,平衡方程变为 (7a) dp (7b) pao 由(7b)o=f(0 图5.3在不问截下弯的应力条校图 根据边界条件 0知道σ=f(p)=0 小中=士受 KK D p x向平衡∫σ pp cos do=F x/2 图2.9沧应力较四与先罩应力条位图的比 2F K COS

0 2 = − +           (7a) = 0       (7b)         cos K D K − = = − = − d = F         / 2 / 2 cos 由（7b）  (),  = f 根据边界条件 0 2 = =     知道   = f () = 0      cos 2F = − 1 →, 平衡方程变为 X向平衡 2  K =

2F cOS P (4-22) 此时:1)半平面内σ的分布规律一等应力圆 极坐标中圆方程:p= Dcos o 2F 而 nD (o 2){o解答采用直角坐标表示 2=TIlorI m‖6 0 00‖-ml

此时：1）半平面内  的分布规律 —等应力圆 极坐标中圆方程： = Dcos , ( 0) 2  = −   =  =   DF 而2）解答采用直角坐标表示   T  T  −1  =  = = = = − 0 2 cos           F （ 4 -22 ）  −    −  =  m l l m m l l m yx y x xy 0 00      

2F coSo 0=0 COS 丌 2F sin cos o R 0=0 SIn (4-23) I =o, sin o coso= 2F sin cos o 丌 2F x3 丌(x+y 2F xy (4-24 丌(x2+y 2F x'y 丌(x2+

         − = = − = = − = = − (4 23) 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 cos cos 2 2 3 2                        F r F F xy y x ：          − + = = − + = − + = − (4 24) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x y F x y x y F x y x y F x xy yx x x       

1位移分量 由(4-22)→(4-2)→(4-3)n可求出 2Fcosφ E 2 uF cOS(代入几何方程 TTE p 2F COS E 2uF COS (a) 尸ooOp

由（4 − 22）→（4 − 2）物 →（4 −3）几 可求出 代入几何方程          = = = − 0 2 cos 2 cos              E F E F          − =   +   =   + = −   0 1 1 2 cos 2 cos                      u u u E u u F E u F 1.位移分量 (a)

四.半无限平面受法向集中力的位移计算 1位移分量 由(4-22)→(4-2)→(4-3)n可求出 2Fcosφ E 2 uF cOS(代入几何方程 TTE p 2F COS E 2uF COS (a) 尸ooOp

四. 半无限平面受法向集中力的位移计算 由（4 − 22）→（4 − 2）物 →（4 −3）几 可求出 代入几何方程          = = = − 0 2 cos 2 cos              E F E F          − =   +   =   + = −   0 1 1 2 cos 2 cos                      u u u E u u F E u F 1.位移分量 (a)

2F In pcos+f() E 2!F 2F u cOS (+np)cosy-f(小) ao TE a E 2F zE (+In p)sin o-f(o)dg+f(p)(c) 代入(a) Eosin中+f()+ 2F sin中+f1() E 2F (u+In p)sin -f(p)+If()do=0 E 2F E 1-A)sp+f()+f()1=()-P()=G f()-f1(p)=G()d f(o)-g f (e)=Hr+G(e)

ln cos ( ) 2      f EF u = − + ( ln )cos ( ), 2 cos , 2            f E u F E u F u = + −  =  + ( ln )sin ( ) ( ) 2      1    f d f EF u = + − +   − + − + = +  + +  ( ln )sin ( ) ( ) 0 2 sin ( ) 2 ln sin ( ) 2 1 1                f f d EF f EF f EF f f d f f G EF − +  + = −  =  (1 )sin ( ) ( ) ( ) ( ) 2      1   1   f1()− f1() = G   d f G df = − ( )( ) 1 1 (b) (c) 代入 （a) (d) f1 ( ) = Hr + G (e)

2F 2F f(y)= I cos o+Ksnφf()2F这( f"(φ)+f(小)==(-1)cOs中=Re[( E (-1)sn 元E 2F f(中)=二(4-1)中sin+IcoSφ+Ksnp (f 带入(d) E 必(-1)sin-f(如)+G≈2F 2F f(p)dy==-( (1-u)o cos -Isin o+K cos o E 2F codon p 2F(1-) wl sin +I cos p+ K sin g 2F sin Inp+ 2F(1+ sIn 2F(1-ppcos p-I sin o+K coso+ Hp+G TE E E 其中:H,G,I,K为待定常数。 结构对称,荷载对称在小=0处环向位移=0 H+G=0→H=G=0 2F cosφlnp Fosin o+Icosφ E E 2F sin ohn p+ (+U) Fsin φ Focos-Isnφ E E E

     − − − + = + + − = − −                      cos sin (1 ) sin (1 ) sin ln 2 sin cos (1 ) cos ln 2 F I E F E E F u F I E E F u 其中：H,G，I,K为待定常数。 结构对称，荷载对称, 在 = 0处环向位移u = 0 u |  =0 = H + G = 0 → H = G = 0 I K H G E F E F E F u I K E F E F u − + + + − − + = + + + − = − −                         cos sin cos 2 (1 ) sin 2 (1 ) sin ln 2 sin cos sin 2 (1 ) cos ln 2 ( 1) ] 2 ( 1) cos Re[ 2 ( ) ( )         i e E F E F f  + f = − = − f () = I cos + K sin         ( 1) sin cos sin 2 ( ) I K E F f = − + +      ( 1) sin 2 ( ) * = − E F f             (1 ) cos sin cos 2 ( 1)sin ( ) 2 ( ) I K E F f G E F f d = − −  + = − − +  （f） 带入（d）