《流体力学》课程教学资源（PPT讲义课件）第五章 相似理论与 量纲分析

第五章相似理论与 量纲分析 流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据,同时也是检验理论 的准绳,具有很重要的作用。 本章将探讨其理论基础 相似理论量纲分析

第五章 相似理论与 量纲分析 流体力学的研究方法中实验研究既 是理论分析的依据，同时也是检验理论 的准绳，具有很重要的作用。 本章将探讨其理论基础： 相似理论 量纲分析

第一节相似理论 为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性,并从模型流动上预测 出实型流动的结果,就必须使两者在流 动上相似,即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说,两相似流动应几何相似 运动相似、动力相似 两流动相似应满足 的条件

第一节 相似理论 为使模型流动能表现出实型流动的 主要现象和特性，并从模型流动上预测 出实型流动的结果，就必须使两者在流 动上相似，即两个互为相似流动的对应 部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似 、 运动相似、 动力相似 。 两流动相似应满足 的条件

几何相似(空间相似) 定义:两流动的对应边长成同一比例, 对应角相等。 引入尺度比例系数=m=c 模型流动用下标 m表示 原型流动用下标p 表示 进而,面积比例系数k1=m=k2 体积比例系数

一 几何相似（空间相似） 定义： 两流动的对应边长成同一比例， 对应角相等。 引入尺度比例系数 进而，面积比例系数 体积比例系数 C l l k p m l = = 2 l p m A k A A k = = 3 l p m V k V V k = = 模型流动用下标 m表示 原型流动用下标p 表示

二运动相似(时间相似) 定义:两流动的对应点上的流体速度矢 成同一比例。 引入速度比例系数k,="m=C 由于 因此 h,=lm/tm L,/t, k 运动相似建立在几何相似基础上,那么 运动相似只需确定时间比例系数可以 了。运动相似也就被称之为时岣相似

二 运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体速度矢 成同一比例。 引入速度比例系数 由于 因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。运动相似也就被称之为时间相似。 C v v k p m v = = m m m v = l / t p p p v = l / t t l p p m m v k k l t l t k = = kt p m t t t k =

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺 度比例系数和时间比例系数的不同组合形 式。 如:ky=kt ka=kjk. 2 k,=k2k,-1 v的单位是m2/ kq=k k. 1q的单位是mt

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺 度比例系数和时间比例系数的不同组合形 式。 如：kv=klkt -1 ka=klkt -2 k=kt -1 k=kl 2kt -1 kq=kl 3kt -1 的单位是m2 /s q的单位是m3 /t

动力相似(受力相似) 定义:两流动的对应部位上同名力矢成 同一比例。引入力比例系数k=P=c 也可写成k=kn4n=(k4)kk,)=k,k 力学物理量的比例系数可以表示为密度 尺度、速度比例系数的不同组合形式,如 力矩M=(m=强p k P kk 功率N=knk=动力粘度μ ku=kok, k

三 动力相似（受力相似） 定义：两流动的对应部位上同名力矢成 同一比例。引入力比例系数 也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、 尺度、速度比例系数的不同组合形式，如： 力矩M 压强p 功率N 动力粘度 C F F k p m F = = 3 2 2 2 ( )( ) kF = km ka = k kl kl kt = k kl kv − ( ) ( ) 3 2 l v p m M k k k Fl Fl k = =  1 2 3 kN = k M kt = k kl kv − 2 v A F p m p k k k k p p k = = =  l v k k k k  = 

综上所述,要使模型流动和原型流动相 似,需要两者在时空相似的条件下受力相 似。 动力相似(受力相似)用相似准则(相 似准数)的形式来表示,即:要使模型流 动和原型流动动力相似,需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等

综上所述，要使模型流动和原型流动相 似，需要两者在时空相似的条件下受力相 似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流 动和原型流动动力相似，需要这两个流动 在时空相似的条件下各相似准则都相等

四相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程 两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程,下面 是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程 在x方向上的分量形式: oNm+ xm oxm 1 (1) Pm+Vn△vxm 1 2) +v△v 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数,有如 下关系式: X,k ym=y,kI Xm pV Zm Pm-p Pm=p

四 相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程， 两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面 是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程 在x方向上的分量形式: (1) (2) 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如 下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m =pk m =pk pm=ppkp fm=fpkf m xm m m xm m xm z m m xm ym m xm xm m xm v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1 p xp p p xp p xp z p p xp yp p xp xp p xp v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1

将上述关系式带进方程(1)中,这时的方程应该和方程 (2)相同,因此得到 k。(3) k,k“knk,k2 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力. 质量力、压力和摩擦力,(3)式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。 用(3)中的位变惯性力项除全式,得到 k,k 在N1 (4) k, kk. kk 4)式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束,对各项进一步分析得到以下相 似准则

将上述关系式带进方程（1）中，这时的方程应该和方程 （2）相同，因此得到 （3） 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、 质量力、压力和摩擦力，（3）式表示模型流动和原型流 动的力多边形相似。 用（3）中的位变惯性力项除全式，得到 （4） （4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比 例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相 似准则 2 2 l v l p g l v t v k k k k k k k k k k k   = = = = v l v p v l g t v l k k k k k k k k k k k k   = = = = 2 2 1

1 Strouhal相似准数Sr=vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比,反映了流体运动随 时间变化的情况 2 Froude 相似准数Fr=v2/g 表示惯性力和重力之比,反映了流体流动中重力所起的 影响程度 3 Euler相似准数 Eu=p/p 表示压力和惯性力的比值 4 Renolds相似准数Re=v/v=pw/ 表示惯性力和粘性力之比 5Mach相似准数Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比,c为声速,反映了流动的压 缩程度

1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随 时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的 影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v 2 表示压力和惯性力的比值 4 Renolds 相似准数 Re=vl/= vl/ 表示惯性力和粘性力之比 5 Mach 相似准数 Ma=v/c 表示弹性力和惯性力之比，c为声速，反映了流动的压 缩程度