《高等数学》课程教学资源：第四章习题课

主要内容 原函数 不定积分 选 u积分法积分法。直接 择 分部 基 积分法本 有效方法 积分 第一换元法 几种特殊类型 表 第二换元法 函数的积分

积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容

1、原函数 定义如果在区间/内,可导函数F(x)的导函数为 f(x),即Vx∈I,都有F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)b,那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)dx在区间/内原函数 原函数存在定理如果函数f(x)在区间内连续,那 么在区间Ⅰ内存在可导函数F(x),使Vx∈I,都有 F'(x)=∫(x) 即:连续函数一定有原函数

1、原函数 如果在区间I 内，可导函数F( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x  I ， 都 有 F(x) = f (x) 或 dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x) 就称为 f ( x)或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数f (x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F(x) ， 使x  I ，都有 F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函数．

2、不定积分 (1)定义 在区间内,函数f(x)的带有任意常数项 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分,记 为「f(x)dx f()dx= F(x)+C 函数f(x)的原函数的图形称为∫(x)的积分曲线

2、不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx．  f (x)dx = F(x) + C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线

(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 40r(xM=(x)(=- ∫F(x)ltx=F(x)+C∫dF(x)=F(x)+C (3)不定积分的性质 P∫Uf(x)±g(x)k=∫f(x)d士∫g(xt 20」(x)dx=kf(x)dc(k是常数,k≠0)

 1 [ f (x)  g(x)]dx = 0   f (x)dx  g(x)dx (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.  2 kf (x)dx = 0  k f (x)dx（k是常数，k  0) (3) 不定积分的性质  f (x)dx f (x) dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx   F(x)dx = F(x) + C  dF(x) = F(x) + C

3、基本积分表 ()∫k=kx+C(k是常数)() since=-cosx+C (2)x“ac +/ (≠-1)(8) sec- xdx= tanx +C cos X (3) =Inx+c csc xdx=-cotx+C sIn )J1 *dx=arctan+C (10)secx tanxdx= secx+C (5) i i dx=arcsinx+c(11)esc x cot xdx=-cscx+C (6)cos xdx=sinx+C (12)ed=e+C

3、基本积分表 (1)  kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 +  − + = +      C x x dx  = x + C x dx (3) ln = +  dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = −  dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C  (6) cos xdx = sin x +C  (7) sin xdx = − cos x +C  (10) sec x tan xdx = sec x +C  (11) csc x cot xdx = − csc x +C =  e dx x (12) e C x + =  x dx 2 cos (8)  xdx = 2 sec tan x +C =  x dx 2 sin (9)  xdx = 2 csc − cot x +C

(13) 加+C (20) dx =-arctan -+C x (14)shed=chx+C (21) d +c 2a x+a (15)chxdx=shx +C (22J_22d a+x n +c (16) tan xdx=-In cosx+C 2a a-x 17)「 cot xdx= Insane+C (23)∫-22=arsi+C a (18)sec xdx=In(sec x+tan x)+C (24) x2±a (19)csc xdr= In(csc x-cot x)+C x+√x2±a2)+C

 a dx = x (13) C a a x + ln  (16) tan xdx = −lncos x +C  (17) cot xdx = lnsin x +C  (18) sec xdx = ln(sec x + tan x) +C  (19) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + +  arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = −  ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x = + −  arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a = +  +   ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = −  ln 2 1 1 (21) 2 2 x +C  (14) shxdx = ch (15)  chxdx = shx +C

4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法 5、第一类换元法 定理1设∫(u)具有原函数,L=q(x)可导, 则有换元公式 ∫f(x)o(x)dx=可f(a)dl= 第一类换元公式(凑微分法)

5、第一类换元法 4、直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式  f[(x)](x)dx =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法

常见类型: 1.∫(x n+1 )x"x; 2. 3. x(xu∫ f( 2 5.f(sin x )cos xd; 6.f(aa dx; 7.∫(tanx)e2xhxc;8. f( arctan x 1+x 2

1. ( ) ; 1 f x x dx n+ n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 常见类型: 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x +

6、第二类换元法 定理设x=y(t)是单调的、可导的函数,并 且y'(t)≠0,又设∫y(t)y(t)具有原函数, 则有换元公式 ∫f(x)={ y(ly'(ytk 其中v(x)是x=v()的反函数 第二类换元公式

6、第二类换元法 定理 设 x =(t)是单调的、可导的函数，并 且(t)  0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 则有换元公式   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt      = =  其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式

常用代换 1.x=(at+b)",a∈R 2三角函数代换 如f(x)=√a2-x2,令x= asin 3双曲函数代换 如f(x)=√a2+x2,令x=asht. 4倒置代换令x

常用代换: 1.x = (at + b) ,  R.  ( ) , sin . 2. 2 2 如f x = a − x 令x = a t 三角函数代换 ( ) , . 3. 2 2 如f x = a + x 令x = asht 双曲函数代换 . 1 4. t 倒置代换 令x =