《线性代数》第六章 二次型（6.2）化二次型为标准形

化二次型为标准形 正交变换法 2.配方法 目标:二次型∫=XAX 非退化线性变换X=CY 标准形∫=Y( CAC)Y ky2+k2y2+…+ YAY 问题转化为:求可逆矩阵C,使得CAC为对角矩阵

二. 化二次型为标准形 1. 正交变换法 2. 配方法 目标： f X AX T 二次型 =  非退化线性变换 X = CY f Y C AC Y T T 标准形 = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 n n = k y + k y ++ k y Y Y T =  问题转化为： 求可逆矩阵C，使得 C AC 为对角矩阵 T

回忆:对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵Y, 使得,T1AT=A 又T为正交矩阵,即TT=E, 所以T=T 所以,对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵Y, 使得,TAT=A 此结论用于二次型

回忆： 对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵T, =  − T AT 1 使得， 又T为正交矩阵，即 T TT = E， T T = T −1 所以 对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵T, T AT =  T 使得， 此结论用于二次型 所以

1.正交变换法 主轴定理:任给二次型f=∑anx=XAX, 总有正交变换X=CY, 使之化为标准形 f∫=1y2+42y2+…+见nyv 其中几,2,,无是二次型∫的对称 矩阵A的全部特征值

1. 正交变换法 主轴定理： 任给二次型 , , 1 f a x x X AX T n i j =  ij i j = = 总有正交变换 X = CY, 使之化为标准形 2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y ++  y . 1 2 矩阵 的全部特征值 其中 ， ， ， 是二次型 的对称 A f     n

2.配方法

2. 配方法

三.惯性定理和规范形(介绍)

三. 惯性定理和规范形（介绍）