《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.5）积分表的使用

§4.0积表的使用 高等数学

高 等 数 学

关于积分表的说明 (1)常用积分公式汇集成的表称为积分表 (2)积分表是按照被积函数的类型来排列的 (3)求积分时,可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后,查得所需结果 (4)积分表见《高等数学》(四版)上册 (同济大学数学教研室主编)第452页

（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册 （同济大学数学教研室主编）第452页． （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. 一、关于积分表的说明

二、例题 例1求∫ 3+4)2 2x.被积函数中含有a+b 在积分表(-)中查得公式(7) dx=2 In ax+b|+ +c ax+b ax + b 现在a=3,b=4于是 n2=n|3x+4|+ (3x+4) 3x+4/+C

例1 求 . (3 4) 2 dx x x  + 被积函数中含有 ax + b 在积分表（一）中查得公式（7） ( ) C ax b b ax b a dx ax b x +       + = + + +  ln | | 1 2 2 现在 a = 3, b = 4 于是 ( ) . 3 4 4 ln | 3 4 | 9 1 3 4 2 C x dx x x x +       + = + + +  二、例题

例2求 dx.被积函数中含有三角函数 5-4cos x 在积分表(十一)中查得此类公式有两个 a=5,b=-4a2>b2选公式(105) 2 a+b a-b x arcot tan=+C a+bcosx a+bla-b Na+b 2 将a=5,b=-4代入得 dx== arcot 3 tan +C 5-4 cOsx 3 2

例2 求 . 5 4cos 1 dx x  − 被积函数中含有三角函数 在积分表（十一）中查得此类公式有两个 2 2 a = 5, b = −4 a  b 选公式（105） 将 a = 5, b = −4 代入得  a + b x dx cos C x a b a b a b a b a b  +      + − − + + = 2 cot tan 2 ar dx x  5 − 4cos 1 . 2 cot 3tan 3 2 C x  +      = ar

d x 例3求 x√4x2+9 表中不能直接查出,需先进行变量代换 令2x=→√4x2+9=、u12+32 2 x√4x2+9Ju,2,2Jw、2+32 +3 被积函数中含有、u2+32

例3 求 . 4 9 2  x x + dx 表中不能直接查出, 需先进行变量代换. 令 2x = u 2 2 2  4x + 9 = u + 3  4 + 9 2 x x dx  + = 2 2 3 2 2 1 u u du  + = 2 2 u u 3 du 被积函数中含有 3 , 2 2 u +

在积分表(六)中查得公式(37 n +c xx ta aa+x+a L L n +c nn2+3233+√2+32 将L=2x代入得 2|x| n +c x√4x2+933+√4x2+9

在积分表（六）中查得公式（37）  + 2 2 x x a dx C a x a x a + + + = 2 2 | | ln 1  +  2 2 u u 3 du C u u + + + = 2 2 3 3 | | ln 3 1 将 u = 2x 代入得  4 + 9 2 x x dx . 3 4 9 2 | | ln 3 1 2 C x x + + + =

例4求∫ sited 在积分表(十一)中查得公式(95) sIn xcos x sin rax= +"sin-2xdx n n 利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使 用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果这 个公式叫递推公式 现在n=4于是

例4 求 sin . 4  xdx 在积分表（十一）中查得公式（95） xdx n  sin  − − − = − + xdx n n n x x n n 2 1 sin sin cos 1 利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式. 现在 n = 4 于是

sinxcosx 3 sintex +sin xdx 对积分sin2xdx使用公式(93) ∫sin2xs sin2x+c 24 4 sin xcosx 3(x 1 I sIn X 十 4(2 2x +C

xdx  4 sin  = − + xdx x x 2 3 sin 4 3 4 sin cos  xdx 2 对积分 sin 使用公式（93）  xdx 2 sin x C x = − sin2 + 4 1 2 xdx  4 sin 4 3 4 sin cos 3 = − + x x sin2 . 4 1 2 x C x  +      −

说明初等函数在其定义域内原函数一定存在, 但原函数不一定都是初等函数 例[exd sInx Inx

说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在， 但原函数不一定都是初等函数. 例 , 2  − e dx x  , sin dx x x . ln 1  dx x

练习题 利用积分表计算下列不定积分: dx 2.|√2x2+9x 4x2-9 3. arcsin"dx 4. e sin 3xdx 2 xvr 7∫xx-2.8.J 1+x

练 习 题 . 1 1 7. 2 . 8. . 1 1 . 6. (1 ) 1 5. . 4. sin 3 . 2 3. arcsin . 2. 2 9 . 4 9 1. : 2 2 2 2 2 2 2         + − − − − + − − dx x x x x dx dx x x dx x x dx e xdx x x x dx x dx x 利用积分表计算下列不定积分