《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.7）曲率

§3.7曲率 高等数学

高 等 数 学

弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 M R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号

一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM

设N(x+△x,y+△y),如图,设MN=△ =V(△x)2+(4y)2 y As_MN,MNMN△x2+4 △xMN△cMN△c A M R 当Ax→0时,inMN1 △x-0MN x+△xx △ MN=√(△)2+(4y2=1+()2△x→1+y2x, △v △s 故 2 2 C 1+ dx dx 0△x s=s(x)为单调增函数, 故d=1+y2k. 弧微分公式

设N(x + x, y + y), 如图， 2 2 MN = (x) + (y) x x y    = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx 0 , lim 1 0  → =  → MN MN x x 当 时 s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o 设MN=s lim 1 , 2 0 y x s dx ds x = +    =  → 故 x x y MN MN x MN MN MN x s   +  =  =    2 2 则 2 2 MN = (x) + (y) ds y dx 2 = 1+ 

曲率及其计算公式 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 △S, M △S M △S1 A△s,/N M △ 弧段弯曲程度越大 转角相同弧段越短 转角越大 弯曲程度越大

二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N  弧段弯曲程度越大 转角越大 转角相同弧段越短 弯曲程度越大 1、曲率的定义 1

设曲线C是光滑的, M是基点MMr=△s, M→M切线转角为△a.MSM △ 1ca+△a 定义 弧段MM的平均曲率为K △a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △s→>0△s 在mn22=da存在的条件下,k=d △->0△Sds ds

+   S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K    =  弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s   =  →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s   =    → . ds d K  =

注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2、曲率的计算公式 设y=∫(x)二阶可导,tana 有 a arctan y, a 1+y ds=√1+y2dx k 1+y

2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d +    = . (1 ) 2 3 2 y y ds d k +    = =  有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx

设1=0( 二阶可导, y=y(t), dy_y( dy o'(ty"(t)-(ty'(t dx (t) ∴k=p(owy()-g"(y(a p2(t)+y2()2

, ( ), ( ), 设 二阶可导    = = y t x t   . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k        +    −    = , ( ) ( ) t t dx dy      = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   =

例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, = 1+(2ax+b) b 显然,当x=-。时,k最大 2a b b4-4ac 又∷( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大

例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + +  = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b −  − − 抛物线在顶点处的曲率最大

例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡 到(R为圆弧轨道 R 点击图片任意处播放暂停 的半径

点击图片任意处播放\暂停 ). ( 1 ( ), , 的半径 到 为圆弧轨道 率连续地由零过渡 缓冲段 如图 使曲 弯道之间接入一段 稳，往往在直道和 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行驶平 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 R R 例2

通常用三次抛物线y=,x3,x∈I0,xl作为 缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓冲段 OA在始端O的曲率 为零,并且当很小 R 冷<1时,在终端 R LO A(Xo, Jo) A的曲率近似为 C(x020) R

. 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 的曲率近似为 时，在终端 为零 并且当 很小 在始端 的曲率 缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓冲段 通常用三次抛物线 ， ．作为  =  x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x l