《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.6）函数图形的描绘

936国形的描绘 高等数学

高 等 数 学

渐近线 定义:当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时 如果点P到某定直线L的距离趋向于零, 那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线 1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线 如果limf(x)=∞或imf(x)=∞ x→>x 那么x=x就是y=f(x)的一条铅直渐近线

一、渐近线 定义: 当曲线 y = f (x) 上的一动点P 沿着曲线移向无穷点时, 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) =  =  → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x 如果 或 如果点P到某定直线L的距离趋向于零, 那么直线L 就称为曲线 y = f (x)的一条渐近线. ( ) . 那么x = x0 就是 y = f x 的一条铅直渐近线

例如y= (x+2)x-3) 有铅直渐近线两条:x=-2,x=3

例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3

2水平渐近线(平行于x轴的渐近线 如果imf(x)=b或mf(x)=b(b为常数 x→-00 那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线 例如y= arctan, 51015x T T 有水平渐近线两条:y y= 2 2

2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b (b为常数) x x = = →+ →− 例如 y = arctanx, 有水平渐近线两条: . 2 , 2  = −  y = y 那么y = b就是 y = f (x)的一条水平渐近线

3斜渐近线 如果lim[f(x)-(ax+b)=0 x→)+0 或lim[f(x)-(ax+b)=0(a,b为常数) 邶么y=ax+b就是y=f(x)的一条斜渐近线 斜渐近线求法: lim=a, limff()-ax=b x→0 那么y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线

3.斜渐近线 lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) lim [ ( ) ( )] 0 或 为常数 如果 f x ax b a b f x ax b x x − + = − + = →− →+ 斜渐近线求法: , ( ) lim a x f x x = → lim[ f (x) ax] b. x − = → 那么 y = ax + b 就是曲线 y = f (x)的一条斜渐近线. 那么y = ax +b就是 y = f (x)的一条斜渐近线

注意:如果 (1)lim f(x) 不存在 x→0 (2)im(x)=a存在但m(x)-ax不存在, 可以断定y=f(x)不存在斜渐近线

注意: ; ( ) (1) lim 不存在 如果 x f x x→ , lim[ ( ) ] , ( ) (2) lim a 存在 但 f x ax 不存在 x f x x x = − → → 可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线

例1求f(x) 2(x-2)(x+3) 的渐近线 解D:(-∞,1)∪(1,+) limf(x)=-∞,limf(x)=+∞ x=1是曲线的铅直渐近线 又 f(x) 2(x-2)(x+3) ∵Im 2 x→0 x(x一 m 2(x-2)x+-2x x→0 X 2(x-2)(x+3)-2x(x-1) Im x→0 X y=2x+4是曲线的一条斜渐近线

= → + lim ( ) 1 f x x  −  , = → − lim ( ) 1 f x x +  ,  x = 1是曲线的铅直渐近线. = → xf x x ( ) 又lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + →  x x x x x = 2 , 2 ] ( 1 ) 2 ( 2)( 3 ) lim [ x x x x x − − − + →  ( 1 ) 2 ( 2)( 3 ) 2 ( 1 ) lim − − + − − = →  x x x x x x = 4 ,  y = 2x + 4是曲线的一条斜渐近线. 例 1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 D :(−,1)(1,+)

f(r) 2(x-2)(x+3) 的两条渐近线如图 x-1 100 50 50 100

的两条渐近线如图 1 2( 2)( 3) ( ) − − + = x x x f x

图形的描绘 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察 凸的 单增 y=f(r) 单减 最大值 凹的 拐 极大 点值氵 极 最 值 值

图形的描绘 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. x y a o b 最 大 值 最 小 值 极 大 值 极 小 值 拐 点 凹的 凸的 单增 y = f (x) 单减

图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形 第一步确定函数y=f(x)的定义域对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x) 第二步求出方程f(x)=0和f(x)=0在函数定义 域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间

二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数y = f (x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间