《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.1）不定积的概念和性质

34安概令和性质 高等数学

高 等 数 学

原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即vx∈I,都有F(x)=f(x) 或dF(x)=∫(x)x,那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)d在区间内的一个原函数 例(sinx)= cosr sinx是cosx的原函数 nx)=(x>0) lnx是在区间(0,+∞)内的原函数

例 (sin x) = cos x  sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x  I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内的一个原函数. 一、原函数与不定积分的概念

原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间/内连续, 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使vx∈I,都有F(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一,它们之间有什么联系? BJ(sin x)=cos x (sin x+C)=cos x (C任意常数)

原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x  (sin x C) = cos x  + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x  I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一，它们之间有什么联系？

关于原函数的说明 1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是∫(x)的原函数 (2)若F(x和G(x)都是f(x)的原函数 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证∵[F(x)-G(x)j=F(x)-G(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)

关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − = f (x) − f (x) = 0  F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）

不定积分的定义: 在区间Ⅰ内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间内的 不定积分,记为∫(x)lt ∫r(xk=F(x)+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数 式量

任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内，  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx

☆例1求∫x5 6 解 xdx +C ☆例2求∫,2 解:( arctan) 2 1+x 1+r2 dx=arctan x+ c

例1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x =         . 6 6 5 C x  x dx = +  解 例2 求 . 1 1 2  + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x) 根据题意知=2x, d x 即f(x)是2x的一个原函数 2xdx=x+c f(x)=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +

函数∫(x)的原函数的图形称为∫(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 d 4f(x)=(x,4(dx=/f(x)t, F(x)dx= F(x)+C,dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的

函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知  f (x)dx f (x), dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x + C ( ) ( ) .  dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

基本积分表 A+1 +1 实例 x→|xd +C. + +1 (≠-1) 启示能否根据求导公式得出积分公式? 结论既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可以根据求导公式得出积分公式

实例    x x =        + + 1 1 . 1 1 C x x dx +  +  = +   启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. (  −1) 二、 基本积分表

基本积分表 1)∫kx=kx+C(是常数; (2)x"c +C(μ≠-1) u+1 (3) =ln|x-|+C; X dx= arctan x + C; (5) dx= arcsinx + C, 1-x (6)cos xdx=sin x+C; ()sin xdx=-cosx+C:

基本积分表 (1)  kdx = kx + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 +   −  + = +   C x x dx (3) ln | | ;  = x +C x dx = +  dx x 2 1 1 (4) arctan x + C; = −  dx x 2 1 1 (5) arcsin x + C; (6)  cos xdx = sin x + C; (7)  sin xdx = − cos x + C;