《线性代数》第三章 向量空间（3.3）向量组的秩

1.向量组的一个基本性质 向量组的秩 2.极大线性无关组 1.向量组的一个基本性质 3.向量组的秩 4.向量空间的基和维数 定理:设a1,a2…,,与B1,B2,…,B1是两个向量组,如果 (1)向量组a1,2,…,可以由向量组1,A2…,月线性表示 (2)S>t 则向量组a1,C2,…,C、必线性相关。 推论1:如果向量组C1,2,…可以由向量组1,A2…,B 线性表示,并且a1,2,…,a,线性无关,那么S≤t 推论2:两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量

1 三. 向量组的秩 1. 向量组的一个基本性质 2. 极大线性无关组 3. 向量组的秩 4. 向量空间的基和维数 1. 向量组的一个基本性质 定理：设 1 2 , , ,    s 与    1 2 , , , t 是两个向量组，如果 (2) s t  则向量组    1 2 , , , s 必线性相关。 推论1：如果向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，并且 1 2 , , ,    s    1 2 , , , s 线性无关，那么 s t  推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 1 2 , , , (1) 向量组    s 1 2 , , , 可以由向量组    t 线性表示；

2.极大线性无关组 定文1:对向量组A,如果在A中有r个向量ax1a2,…,a1 满足: (1)A:a1,O2,…,C线性无关。 (2)任意r+1个向量都线性相关。(如果有的话) 那么称部分组A为向量组A的一个极大线性无关组。 简称极大无关组 注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组 (2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 (3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示

2 2. 极大线性无关组 定义1: 注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 2 , , ,    r 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 0 1 2 : , , , （1） A    r 线性无关。 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示

2 2 例如:在向量组a1232=5 中 首先a1,a2线性无关,又1,C2,3线性相关, 所以a1C2组成的部分组是极大无关组。 还可以验证a2,C3也是一个极大无关组。 注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的

3 例如：在向量组 1 2 3 中， 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1                − − − = = =                         − 1 2 首先  , 线性无关， 又 1 2 3    , , 线性相关， 所以 1 2  , 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 2 3  , 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的

极大无关组的一个基本性质: 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都 与向量组等价,所以: 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得 定理:一个向量组的任意两个极大无关组等价, 且所含向量的个数相同

4 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理：

3.向量组的秩 定义2:向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩,记作r(a1,a2,…,a,) 2 例如:向量组3a2 的 5 秩为2

5 3. 向量组的秩 定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 1 2 3 的 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1                − − − = = =                         − 秩为2。 1 2 ( , , , ) s r   

关于向量组的秩的结论: (1)零向量组的秩为0。 (2)向量组a1,a2,…,a线性无关分冷r(a1,a2,…,a,)=s 向量组a1,a2,…,a,线性相关r(a1,a2,…,ax)<S (3)如果向量组a1,a2,…,a,可以由向量组月1,B2…,月 线性表示,则 r(a1,a2…,)Sr(1,B2,…,B,) (4)等价的向量组必有相同的秩。 注:两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩,并且其中一个可以被另一个 线性表示,则这两个向量组等价

6 （4）等价的向量组必有相同的秩。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 1 2 , , ,    s 线性无关  1 2 ( , , , ) s r s    = 向量组 1 2 , , ,    s 线性相关  1 2 ( , , , ) s r s     （3）如果向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，则 1 2 , , ,    s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) s t r r        注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价

4.向量空间的基与维数 定义:设ⅴ是向量空间,如果r个向量ax1,ax2,…,Cn∈ 且满足 (1)a1,C2,…1线性无关。 (2)V中任一向量都可由ax1,a2,…,Cn线性表示, 那么,就称向量组C1,C2,…·,Cr是向量空间Ⅴ的 个基,r称为向量空间Ⅴ的维数,记作dimV=r 并称Ⅴ是r维向量空间。 注:(1)只含有零向量的向量空间没有基,规定其维数为0 (2)如果把向量空间看作向量组,可知,V的基就是向 量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。 (3)向量空间的基不唯一

7 4. 向量空间的基与维数 定义：设V是向量空间，如果r个向量 1 2 , , , ,    r V 且满足 1 2 , , , （1）    r 线性无关。 （2）V中任一向量都可由 1 2 , , ,    r 线性表示， 那么，就称向量组 1 2 , , ,    r 是向量空间V的 一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r 并称V是r维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 （2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一