《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.7）函数的微分

§27画的微分 高等数学

1 高 等 数 学

问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, Ar(4r)2 正方形面积A=x02, △A=(xo+△x)2-x A =2x0·△x+(△x) (2) (1):Ax的线性函数且为△4的主要部分; (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略

2 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0

再例如,设函数y=x2在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量△ 小y=(x0+△x)3-x0 =3x2△x+3x0·(△x)2+(△x)3 当△很小时,(2)是△x的高阶无穷小(△x 4y≈3x2·△Ax.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

3 再例如, , . 0 3 x y y x x   = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0  x + x  x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y  x0  x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

二、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义, x及x+△x在这区爆 △y=f(x0+△x)-f(x)=A·△x+O(△x 成立(其中A是与△无关的常数,则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 作d=n或(x),即 A·△x x-o 微分叫做函数增量△y的线性主部(微分的实质)

4 二、微分的定义 定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及x0 + x在这区间内如果 ( ) ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x = Ax + o x ， 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 ( ) , y = f x 在点x0 可微 并且称Ax为函数 ( ) , y = f x 在点x0 相应于自变量增量x的微分 ( ), . 0 0 0 dy df x dy A x 记作 x=x 或 即 x=x = 

由定义知: (1)是自变量的改变量的线性函数 (2)△y-y=0(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,小与4y是等价无穷小 △ =1+ 0(△x) A.Axx>1(△x→>0 (4)A是与Ax无关的常数但与f(x)和x有关; (5)当x很小时,4≈小(线性主部)

5 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A  0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x    = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部)

定理已知函数/(x)在点可微 函数f(x)在点x处可导,且A=f(x0) 证 条件 结论 f(x)在点x可微 函数f(x)在点x可导 2且A=f(x) △ △y=A·Ax+O(Ax) Im f(xo)=A Ax→>0△x △ O(△x) △ 4+ A+a(△x) △x △x 0(△x) △ △ ”上面过程已证 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或(即次元A

6 定理 证： f (x)在点x0 可微 ( ). ( ) , 0 0 A f x f x x 且 =  函数 在点 可导 条件 结论 已知函数 f (x)在点x0 可微 ( ) , ( ). 0 0 函数 f x 在点x 处可导 且 A = f  x “ ” ? f (x ) A x y o x = =    → lim ' 0 A ( x) x y = +     “ ” 上面过程已证 , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x =   = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 y = Ax + o(x) x o x A x y   = +   ( ) ( x) x o x =     ( )

例1求函数y=x3当x=2,A=0.02时的微分 解∵小=(x)'Ax=3x2△Ax. =3x2△r =0.24 Ar=0.02 Ar=0.02 通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分 记作,即=△x 中=f(x).的 ∫(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也呻'微商

7 例 1 解 dy = ( x )x 3  3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3  ==  =  = =  xx x dy x x x = 0 .24 . , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy =  该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 求函数y = x3当x = 2,x = 0.02时的微分

四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当y是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, y=f(r) △ 就是切线纵坐标 对应的增量. +△x 当Δx很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 8

8 四、微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o  x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当  很小时 在点 的附近

五、微分的求法 dy=f(x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 1基本初等函数的微分公式 d(C)=0 d(x“) d ard-1 x d (sin x)=cos xdx d(cos x=sin xdx d(tan x)=sec xdx cot x csc X( dx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=-cScx cot xdx

9 五、微分的求法 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 d(C) = 0 d x x dx 1 ( ) − =    d x xdx 2 (tan ) = sec d(sin x) = cos xdx d(cos x) = −sin xdx d x xdx 2 (cot ) = −csc d(sec x) = sec x tan xdx d(csc x) = −csc x cot xdx

d(a)=a h adx d(e=edx d(log x) d x d (In x)=dx xn a X d(arcsin x) dx d(arccos x) 2 2 d (arctan x) dx d(arc cot x) dx 1+x 2 1+x 2.函数和、差、积、商的微分法贝 d(uy)=h±avd(CLu)=Ca L、V-lCv d(uv)=vdu +udv 10

10 d a a adx x x ( ) = ln 2. 函数和、差、积、商的微分法则 d(u  v) = du  dv d e e dx x x ( ) = dx x d x 2 1 1 (arcsin ) − = dx x d x 2 1 1 (arctan ) + = dx x d x 1 (ln ) = dx x d x 2 1 1 (arccos ) − = − dx x d arc x 2 1 1 ( cot ) + = − dx x a d x a ln 1 (log ) = d(Cu) = Cdu d(uv) = vdu+ udv 2 ( ) v vdu udv v u d − =