《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.8）方程的近似解

838方的近似解 高等数学

高 等 数 学

问题的提出 问题:高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法 求近似实根的步骤: 1.确定根的大致范围——根的隔离 确定一个区间[a,b]使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根 区间a,6称为所求实根的隔离区间

一、问题的提出 求近似实根的步骤： １．确定根的大致范围——根的隔离． 区间内的唯一实根． 确定一个区间[a,b]使所求的根是位于这个 问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法． 区间[a,b] 称为所求实根的隔离区间．

如图,精确画出y=∫(x)的图形,然后从图上 定出它与x轴交点的大概位置. 2.以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值,逐步改善根的近似值的精确度,直至求得 满足精确度要求的近似实根 常用方法二分法和切线法(牛顿法)

定出它与 轴交点的大概位置． 如图，精确画出 的图形，然后从图上 x y  f (x) ２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法）

二、二分法 设f(x)在区间[a,b上连续,f(a),f(b)<0, 且方程f(x)0在(a,b)内仅有一个实根与, 于是[a,b]即是这个根的一个隔离区间 作法: a+b 取a,b的中点5=2 计算f(51 如果∫(41)=0,那末5=51

二、二分法 设 f (x) 在区间[a,b]上连续，f (a) f (b)  0， 如果 f ( 1 )  0，那末    1； 作法： ( ). 2 [ , ]  1  1 f a b 取 a b 的中点 ，计算   且方程 f (x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根 ， 于是[a,b]即是这个根的一个隔离区间．

如果f(1)与∫(a)同号,那末取a1=51,b1=b, 由f(a1)·f(b1)<0,即知a1<5<b且 (b-a); 如果∫(41)与∫(b)同号,那未取a1=a,b=51, 也有a1<5<b1及b1-a1=(b-a) 总之, 当≠51时,可求得a1<<b且b-a1=(b-a)

( ) ( ) , , 1 1 1 1 如果 f  与 f a 同号，那末取 a   b  b ( ); 2 1 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 b a b a f a f b a b    由   ，即知    ，且 ( ) ( ) , ,  1 1  1   1 如果 f 与 f b 同号，那末取 a a b ( ); 2 1 1 1 1 1 也有 a    b 及 b  a  b  a 总之， ( ); 2 1 1 1 1 1 当  １时，可求得 a    b 且 b  a  b  a

以{a1,b1作为新的隔离区间,重复上述做法, 当号≠2=(a1+b1)时,可求得a2<<b2且 (b-a); 2 如此重复n次,可求得an<<bn且 bn ( b-a). 2 如果以an或bn作为ξ的近似值,那末其误差 小于立(b-a) 2

( ); 2 1 ( ) 2 1 [ , ] 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a a b a b a b    当      时，可求得    且 以 作为新的隔离区间，重 复上述做法， ( ). 2 1 , b a b a n a b n n n n n    如此重复 次 可求得    且 小于 ． 如果以 或 作为 的近似值，那末其误差 ( ) 2 1 b a a b n n n   

例1用二分法求方程x3+1.1x2+0.9x-14=0 的实根的近似值,使误差不超过10-3 解令∫(x)=x3+11x2+0.9x-1.4, 显然∫(x)在(-∞,+∞)内连续 f∫(x)=3x2+2.2x+0.9 △=-140.如图 故∫(x)在(-∞,+∞)内单调增加, f(x)=0至多有一个实根

例１ , 10 . 1.1 0.9 1.4 0 3 3 2      的实根的近似值 使误差不超过 用二分法求方程 x x x 解 ( ) 1.1 0.9 1.4, 3 2 令 f x  x  x  x  显然 f (x) 在 (,)内连续. ( ) 3 2.2 0.9, 2  f  x  x  x    1.49  0, f (x)  0. 故 f (x) 在 (,)内单调增加, 如图  f (x)  0 至多有一个实根．

f(0)=-1.40, ∫(x)=0在[0,1有唯一的实根 取a=0,b=1,0,1即是一个隔离区间 计算得: 51=0.5,f(51)=-0.550,故a2=0.5,b2=0.75; 与3=0.625,f(43)=-0.160,故a4=0.625,b=0.687;

 f (0)  1.4  0, f (1)  1.6  0,  f ( x)  0 在[0,1]内有唯一的实根. 取 a  0,b  1, [0,1]即是一个隔离区间. 计算得: 0.5, ( ) 0.55 0, 0.5, 1;  1  f  1    故 a1  b1  0.75, ( ) 0.32 0, 0.5, 0.75;  2  f  2   故 a2  b2  0.625, ( ) 0.16 0, 0.625, 0.75;  3  f  3    故 a3  b2  0.687, ( ) 0.062 0, 0.625, 0.687;  4  f  4   故 a4  b4 

5=0.656,f(25)=-0.0540,故a=0.656,b=0.672; 5=0.664,f(51)=-0.0250,故a10=0670,b0=0.671 0.670<5<0.671.即0.670作为根的不足近似值, 0.671作为根的过剩近似值,其误差都小于103

0.656, ( ) 0.054 0, 0.656, 0.687;  5  f  5    故 a5  b5  0.672, ( ) 0.005 0, 0.656, 0.672;  6  f  6   故 a6  b6  0.664, ( ) 0.025 0, 0.664, 0.672;  7  f  7    故 a7  b7  0.668, ( ) 0.010 0, 0.668, 0.672;  8  f  8    故 a8  b8  0.670, ( ) 0.002 0, 0.670, 0.672;  9  f  9    故 a9  b9  0.671, ( ) 0.001 0, 0.670, 0.671.  10  f  10   故 a10  b10  0.670    0.671. 0.671 , 10 . 0.670 , 作为根的过剩近似值 其误差都小于 3 即 作为根的不足近似值

、切线法 设f(x)在[a,b上具有二阶导数,f(a)f(b)<0, 且f(x)及f(x)在[a,b]上保持定号 则方程∫(x)=0在(a,b)内有唯一个的实根ξ, [a,b是根的一个隔离区间 定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从 而求出方程实根的近似值,这种方法叫做切线 法(牛顿法)

三、切线法 设 f (x) 在[a,b]上具有二阶导数，f (a) f (b)  0， 定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从 而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线 法（牛顿法）． 且 f (x) 及 f (x) 在[a,b]上保持定号． 则方程 f (x)＝０在 (a,b)内有唯一个的实根， [a,b]是根的一个隔离区间．