《数学模型系列》课程教学资源（PPT讲稿）彩票中的数学

彩中的教学

彩票中的数学

问题重迷 彩票在国内已经得到较大程度的推广,并受到众多彩 民的欢迎。彩票类型主要有“传统型”和“乐透型” 两种,主要在所采用的方案上有所不同。 不管采取何种方案,彩票管理部门都希望利用相对合 理的销售规则和奖金设置,吸引彩民,扩大销售总额。 题目要求我们根据所给方案的具体情况,综合分析各 种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩 民的吸引力等因素来评价各方案的合理性,并设计出 种“更好”的方案

问题重述 ➢ 彩票在国内已经得到较大程度的推广，并受到众多彩 民的欢迎。彩票类型主要有“传统型”和“乐透型” 两种，主要在所采用的方案上有所不同。 ➢ 不管采取何种方案，彩票管理部门都希望利用相对合 理的销售规则和奖金设置，吸引彩民，扩大销售总额。 ➢ 题目要求我们根据所给方案的具体情况，综合分析各 种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩 民的吸引力等因素来评价各方案的合理性，并设计出 一种“更好”的方案

彩票的类型 I、“传统型”彩票采用“10选6+1”方案,每注中奖号 码由6个基本号码即一个特别号码组成。(有序) 中奖 10选6+1(6+1/10) 等级 基本号码 特别号码 说明 等奖| abcdef 「选7中(6+1) 二等奖| abcdef 选7中(6) 等奖 abcdex Xbcdef 选7中(5) 四等奖 abcdxx Xbcdex XXcdef 选7中(4) 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdex XXXdef 选7中(3) 六等奖 abXXXX Xbcxxx XXcdxx XXXdeX选7中(2) XXXXef

彩票的类型 I、“传统型”彩票采用“10选6+1”方案，每注中奖号 码由6个基本号码即一个特别号码组成。(有序) 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基本号码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 选7中（6+1） 二等奖 abcdef 选7中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2）

彩票的类型 II、“乐透型”采用“n选m”或“n选m+1”方案。(无序) 甲、“n选m”制:中奖号码由1—n中的互不重复的m个基 本号及一个特别号码组成。每注选m个不同号 奖 33选7(7/33) 等级 基本号码 特别号码说明 等奖●●●●● 选7中(7) 等奖●·oO 选7中(6+1) 三等奖·●●·● 选7中(6) 四等奖●·●●OO 选7中(5+1) 五等奖●●●●。OO 选7中(5) 六等奖●●●●○OO 选7中(4+1) 七等奖●●●●○OO 选7中(4)

彩票的类型 II、“乐透型”采用“n选m”或“n选m+1”方案。(无序) 甲、“n选m”制：中奖号码由1—n中的互不重复的m个基 本号及一个特别号码组成。每注选m个不同号。 中 奖 等 级 33 选 7（7/33） 基本号码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6） 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中（5+1） 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中（4+1） 七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4）

II、“乐透型”采用“n选m”或“n选m+1”方案。(无序) 乙、“n选m+1”制:中奖号码由1-m中互不重复的m个 基本号及一个特别号组成。每注选m+1个不同号。 中奖 36选6+1(6+1/36) 等级 基本号码 特别号码 说明 等奖···●● 选7中(6+1) 二等奖●● 选7中(6) 等奖●●●O 选7中(5+1) 四等奖●●●●●C 选7中(5) 五等奖●··● ○O 选7中(4+1) 大等奖·●·oo 选7中(4) 七等奖●●●OOO 选7中(3)

II、“乐透型”采用“n选m”或“n选m+1”方案。(无序) 乙、 “n选m+1”制：中奖号码由1—m中互不重复的m个 基本号及一个特别号组成。每注选m+1个不同号。 中 奖 等 级 36 选 6+1（6+1/36） 基本号码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●● ★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●● 选7中（6） 三等奖 ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） 四等奖 ●●●●●○ 选7中（5） 五等奖 ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●○○ 选7中（4） 七等奖 ●●●○○○ ★ 选7中（3）

奖项设置 总奖金比例 总奖金50% 总销售额 单注金额2元 单注得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖 三等奖为高项奖,后面的为低项奖 等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元 低项奖为固定奖,奖额固定 高项奖为浮动奖,按比例分配 各高项奖额的计算方法为: I(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例

奖项设置 ➢ 总奖金比例 = ➢ 单注金额2元 ➢ 单注得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖 ➢ 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖 ➢ 一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元 ➢ 低项奖为固定奖，奖额固定 高项奖为浮动奖，按比例分配 ➢ 各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额×总奖金比例) -低项奖总额]×单项奖比例  50% 总奖金 总销售额

问题的分析 R=D×qx(1-k) R-利润 D-彩民购买彩票的总注数 q-单注金额 k一总奖金比例 现q2,k=50%一定,所以R与 D成正比

问题的分析 R---利润 D---彩民购买彩票的总注数 q---单注金额 k---总奖金比例 现q=2,k=50%一定，所以R与 D成正比 R = Dq(1−k)

■模型的假设 1不考虑除奖项设置方案以外的其它可能影响 彩民购买彩票的因素(如广告等媒体宣传手 段) 2彩民购买彩票的注数与彩票放案的吸引力直 接相关,表现为吸引力越大,售出的彩票注 数越多 3不同的彩民对彩票有不同的喜好,表现为中 奖面(即获奖概率)和奖金额对其吸引力的 不同

◼ 模型的假设 1 不考虑除奖项设置方案以外的其它可能影响 彩民购买彩票的因素（如广告等媒体宣传手 段） 2 彩民购买彩票的注数与彩票放案的吸引力直 接相关，表现为吸引力越大，售出的彩票注 数越多 3 不同的彩民对彩票有不同的喜好，表现为中 奖面（即获奖概率）和奖金额对其吸引力的 不同

方案的好坏~彩票方案的评价函数~对彩民吸 引力的大小 1)奖金额 2)中奖面 设第i种方案有L等奖,1等奖到L等奖的中 奖率分别为P ,PiL,单项获奖金额 分别为Ci1, ,CiL,它队某一类型彩民 的吸引力为Ai

◼ 方案的好坏~彩票方案的评价函数~对彩民吸 引力的大小 1）奖金额 2）中奖面 设第 i 种方案有 L 等奖,1等奖到L 等奖的中 奖率分别为Pi1，……，PiL，单项获奖金额 分别为Ci1，……，CiL，它队某一类型彩民 的吸引力为Ai

当以上2L个参数中只有一个增大,而其余 (2L-1)个不变时,根据实际情况可以知道, 吸引力Ai必然随之增大而且吸引力Ai应该 是以Pi1,… PiL, Cil ,CiL这2L 个参数为自变量的函数,且对于每一个自 变量而言,均是单调增函数,这一点对于 任何设奖方式均适用

当以上2L个参数中只有一个增大，而其余 (2L-1)个不变时，根据实际情况可以知道， 吸引力Ai必然随之增大而且吸引力Ai应该 是以Pi1，……，PiL，Ci1，……，CiL这2L 个参数为自变量的函数，且对于每一个自 变量而言，均是单调增函数，这一点对于 任何设奖方式均适用