北京大学：《数学物理方法》课程教学资源（讲义）教学大纲

数学物理方法 教学大纲 教育部物理学与天文学教学指导委员会 专业物理与应用物理指导组讨论通过 1998年

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教学大纲 物理专业 数学物理方法教学大纲 90学时(包括习题课) 、课程的目的与任务 本课程为物理系物理专业所开设,也可供应用物理专业参考。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和 Fourier级数、微分方程、场论、线性代 数)和普通物理(力学、热学、电学)的基础上,以讲授古典数学物理中的常用方法为主,适当介 绍近年来的新发展,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备,也为今后工 作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。 二、内容和参考学时 复数和复变函数 (2学时) 复数及其运算规则复数的几何表示复数序列复变函数复变函数的极限和连续无 穷远点 解析… 导数解析函数初等函数多值函数-a多值函数ln(z-a)解析函数的几何性 质 复积… (学时) 复变积分单连通区域的 CahyCauchy定理复连通区域的定理 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数公式 无 学时) 复数级数函数级数含参量的积分的解析性幂级数解析函数的 Taylor展开 Taylor 级数求法举例解析函数的 Laurent展开 Laurent级数求法举例单值函数的孤立奇点 二阶线性常微分方程的幂级数解法 4学时) 二阶线性常微分方程的常点和奇点在方程常点邻域内的解在方程正则奇点邻域内的解 Bessel方程的解 解析拓 …(1学时) 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性解析延拓 留数定理期 …6学时) 留数定理有理三角函数的积分无穷积分含三角函数的无穷积分实轴上上有奇点的 情形多值函数的积分留数定理的其它应用* 函数 …(3学时)

✘ ✙ ✚ ✛ 2 ✜ ✢ ✣ ✤ ✥✦✜✢✧★✩✦✪✫ 90 ✬✭ (✮✯✰✱✲) ✳✴✵✶✷ ✸✷✹✺✻ ✼ ✲✽✾✿❀❁✿❀❂❃❄❅❆❇❈❉❊❋●✿❀❂❃❍■❏ ✼ ✲✽❑▲▼◆✬ (❖P◗❘P❙❚❯❱❲❳◆◗ Fourier ❳◆❱❙❯❨✽❱❩❬❱❭❪❫ ◆) ◗❴❵✿❀ (❛✬❱❜ ✬❱❝✬) ❞❡❢❣❇❤✐❥❦❧◆✬✿❀♠❞♥●❨♦✾♣❇qrs t✉✈✇❞①②③❇✾④⑤❞❡❢✲✽◗❂❃✲✽⑥⑦⑧⑨❞◆✬✿❀⑩✱❶❷❸❇❈✾❹④❺ ❶♠❻❼❞◆✬✿❀⑩✱❞❽❾❿❊❡❢❏ ➀✴➁➂➃➄➅➆➇ ➈➉➊➈➋➌➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭) ➍ ◆➎➏➐➑➒➓ ➍ ◆❞➔→➣↔ ➍ ◆↕➙ ➍➛➜◆ ➍➛➜◆❞➝➞◗➟➠ ➡ ➢➤➥ ➦➧➌➉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) ➨ ◆ ❾➩➜ ◆ ➫▼➜ ◆ ❘➭➜ ◆ √ z − a ❘➭➜ ◆ ln(z − a) ❾➩➜ ◆❞➔→❪ ➯ ∗ ➈➋➲➳. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) ➍➛❚❯ ➵➟❵➸➺❞ Cauchy ➻❀ ➍ ➟❵➸➺❞ Cauchy ➻❀ Cauchy ❚❯➼➽ ❾➩➜ ◆❞▲➾➨ ◆➼➽ ➚➪➶➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 ✬✭) ➍ ◆❳◆ ➜ ◆❳◆ ➹❍➘❞❚❯❞❾➩❪ ❲❳◆ ❾➩➜ ◆❞ Taylor ③❅ Taylor ❳◆❽♦➴➷ ❾➩➜ ◆❞ Laurent ③❅ Laurent ❳◆❽♦➴➷ ➵➭➜ ◆❞➬➮➱➥ ✃❐❒❮❰Ï➳ÐÑÒÓ➶➉➦Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) Õ ➾❭❪♥❙❯❨✽❞♥➥ ◗➱➥ ❑❨✽♥➥Ö➺×❞❾ ❑❨✽Ø➓➱➥Ö➺×❞❾ Bessel ❨✽❞❾ ➦➧ÙÚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 ✬✭) ❾➩➜ ◆❞Û➥ ➬➮❪◗❾➩➜ ◆❞Ü❖❪ ❾➩ÝÞ ß➉àáâãäå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(6 ✬✭) æ ◆➻❀ ⑧❀çè➜ ◆❞❚❯ ➡ ➢ ❚❯ ➹çè➜ ◆❞➡➢ ❚❯ éê❣❣⑧➱➥ ❞ ëì ❘➭➜ ◆❞❚❯ æ ◆➻❀❞➏í❋● ∗ Γ➌➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 ✬✭)

函数的定义r函数的基本性质业函数B函数 (4学时) Laplace变换 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的反演普遍反演公式 数学物理方程和定解条件 (4学时) 弦的横振动方程杆的纵振动方程热传导方程稳定问题边界条件与初始条件内部 界面上的连接条件定解问题的适定性 线性偏微分方程的通解 (4学时) 线性偏微分方程的解的叠加性常系数线性齐次偏微分方程的通解常系数线性非齐次偏 微分方程特殊的变系数线性齐次偏微分方程波动方程的行波解 分离变量法 (4学时) 两端固定弦的自由振动矩形区域内的稳定问题多于两个自变量的定解问题两端固定 弦的强迫振动非齐次边界条件的齐次化 正交曲面坐标系 (4学时) 正交曲面坐标系正交曲面坐标系中的 Laplace算符 Laplace算符的平移转动和反 射不变性 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变数 Helmholtz方程在球坐标系下的分 离变数圆形区域 球函数 (7学时) Legendre多项式 Legendre多项式的微分表示 Legendre多项式的正交完备性Leg ende多项式的生成函数 Legendre多项式的递推关系连带 Legendre函数和球面调和 函数 柱函数 (7学时) Bessel函数的基本性质 Neumann函数 Bessel方程的本征值问题含 Bessel函数的 积分 Hankel函数虚宗量 Bessel函数半奇数阶 Bessel函数球 Bessel函数 分离变数法总结. 内积空间和函数空间*自伴算符的本征值问题 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 从 Sturm- Liouville型方程本征值问题看分离变数法 积分变换的应用 (2学时) Laplace变换 Fourier变换小波变换的基本思想* 非齐次方程与 Green函数方法 (8学时) δ函数Gren函数的概念常微分方程初值问题的Gren函数稳定问题 Green函数的 般性质三维无界空间 Helmholtz方程的Gren函数圆内 Poisson方程第一边值问题 的 Green函数波动方程或热传导方程的Gren函数 变分法初步 (4学时) 泛函的概念泛函的极值泛函的条件极值微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 Ritz方法 数值解法 (2学时)

✘ ✙ ✚ ✛ 3 Γ ➜ ◆❞➻î Γ ➜ ◆❞❡✼ ❪ ➯ Ψ ➜ ◆ B ➜ ◆ Laplace ➋ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) Laplace ➛ð Laplace ➛ð❞❡✼ ❪ ➯ Laplace ➛ð❞ñò ❴óñò➼➽ ➉ôõáÐÑ➊à➦ö÷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) ø ❞ùúû❨✽ ü❞ýúû❨✽ ❜þ➨ ❨✽ ÿ➻⑩✱ ￾✁✂✄☎➫✆✂✄ × ✝ ✁✞❣❞➟✟✂✄ ➻❾⑩✱❞q ➻❪ ❒❮✠Ï➳ÐÑÒ✡➦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) ❭❪☛❙❯❨✽❞❾❞☞✌❪ ♥❁◆❭❪✍✎☛❙❯❨✽❞❵❾ ♥❁◆❭❪✏✍✎☛ ❙❯❨✽ ✑✒❞ ➛ ❁◆❭❪✍✎☛❙❯❨✽ ✓û❨✽❞✔✓❾ ➳✕➋✖Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(4 ✬✭) ✗✘✙➻ ø ❞ ✚ ✛ úû ✜ ì ➸➺×❞ÿ➻⑩✱ ❘✢ ✗✣ ✚ ➛ ➘❞➻❾⑩✱ ✗✘✙➻ ø ❞✤✥úû ✏✍✎￾✁✂✄❞✍✎✦ ✧★✩✪✫✬✭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) Ø✮✯✞✰✱❁ Ø✮✯✞✰✱❁♠❞ Laplace ➑✲ ∗ Laplace ➑✲❞✳✴❱✵û◗ñ ✶✷➛ ❪ Helmholtz ❨✽❑✸✰✱❁✹❞❯✺ ➛ ◆ Helmholtz ❨✽❑✻✰✱❁✹❞❯ ✺ ➛ ◆ ✼ ì ➸➺ ✽➌➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 ✬✭) Legendre ❘✾➽ Legendre ❘✾➽❞❙❯➣↔ Legendre ❘✾➽❞Ø✮✿❸❪ Leg￾endre ❘✾➽❞❀❁➜ ◆ Legendre ❘✾➽❞❂❃⑨❁ ➟❄ Legendre ➜ ◆◗✻✞❅◗ ➜ ◆ ❆➌➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 ✬✭) Bessel ➜ ◆❞❡✼ ❪ ➯ Neumann ➜ ◆ Bessel ❨✽❞✼❇ ➭⑩✱ ➹ Bessel ➜ ◆❞ ❚❯ Hankel ➜ ◆ ❈❉➘ Bessel ➜ ◆ ❊➱◆➾ Bessel ➜ ◆ ✻ Bessel ➜ ◆ ➳✕➋➉Ô❋● . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) ×❚❍■◗ ➜ ◆❍■∗ ✚ ❏ ➑✲❞ ✼❇ ➭⑩✱ Sturm–Liouville ❑❨✽❞✼❇ ➭⑩✱ ▲ Sturm–Liouville ❑❨✽✼❇ ➭⑩✱▼❯✺ ➛ ◆♦ ➲➳➋ïÒäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭) Laplace ➛ð Fourier ➛ð ◆ ✓ ➛ð❞❡✼❖P ∗ ◗❘❙ÐÑ❚ Green ➌➉ÐÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 ✬✭) δ ➜ ◆ Green ➜ ◆❞❯❱ ♥❙❯❨✽➫➭⑩✱❞ Green ➜ ◆ ÿ➻⑩✱ Green ➜ ◆❞ ❖❲❪ ➯ ç❳➡✁❍■ Helmholtz ❨✽❞ Green ➜ ◆ ✼× Poisson ❨✽❨❖￾➭⑩✱ ❞ Green ➜ ◆ ✓û❨✽❩ ❜þ➨ ❨✽❞ Green ➜ ◆ ➋➳Ô❬❭. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(4 ✬✭) ❪➜ ❞❯❱ ❪➜ ❞➝➭ ❪➜ ❞✂✄➝➭ ❙❯❨✽➻❾⑩✱◗✼❇ ➭⑩✱❞➛ ❯ ì ➽ Ritz ❨♦ ➉❫➦Ô∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭)

数值微商二阶偏徵分方程的有限差分法 结束语 (4学时) 二阶线性偏微分方程的分类数学物理方程的反问题*非线性偏微分方程问题 几点说明 对于本大纲所列内容与学时分配建议,教师可根据各校实际情况适当取舍调整。 本课程包括复变函数和数学物理方程两部分。前者系统介绍解析函数的基本性质及其应 用;后者主要包括分离变量法和Gren函数方法以及最常用的两类特殊函数。基本内容的学时应 予保证。 在保证基本要求的基础上,应适当介绍一些近年来发展起来的新内容、新方法,如反问 题、非线性问题和小波变换等 4.非线性偏微分方程问题可以KdV方程为例 5.建议安排9次习题课,内容分别为:解析函数和多值函数;解析函数的幂级数晨开;r 函数和 Laplace变换;留数定理及其应用;常微分方程级数解法;分离变量法;球函数;柱函数; Green函数

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应用物理专业 数学物理方法教学大纲 54学时(不包括习题课) 课程的目的与任务 本课程为物理系应用物理专业所开设 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和 curler级数、微分方程、场论、线性代 数)和普通物理(力学、热学、电学)的基础上,以讲授古典数学物理中的常用方法为主,适当介 绍近年来的新发展,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备,也为今后工 作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。 内容和参考学时 复变函数及其导数 (2学时) 复变数及复变函数导数解析函数 复变积分 (2学时) 复变积分 Cauchy定理不定积分 cauchy积分公式 无穷级数 (6学时) 复数级数函数级数幂级数 Taylor晨开 Laurent展开 单值函数的孤立奇点留数定理 常微分方程的幂级数解法 (6学时) 常微分方程的常点和奇点在方程常点邻域内的解在方程正则奇点邻域内的解 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 数学物理方程和定解条件 (6学时) 弦的横振动方程热传导方程静电场的 Poisson方程和 Laplace方程定解条件二阶线 性偏微分方程的分类与化简 分离变量法 (10学时) 线性方程的叠加原理两端固定弦的自由振动两端固定弦的强迫振动有界杆的导热问 题矩形区域内的稳定问题圆形区域非齐次边界条件的齐次化 Green函数的基本概念(基本解) 积分变换的应用 (4学时) Laplace变换 Fourier变换 gendre多项式与球函数 (6学时) 球坐标系中 Laplace方程的分离变量 Legendre方程及连带 Legendre方程

❴ ❵ ❛ ❜ 5 ➃ ➄ ✜ ✢ ✣ ✤ ✥✦✜✢✧★✩✦✪✫ 54 ✬✭ (✷ ✮✯✰✱✲) ✳✴✵✶✷ ✸✷✹✺✻ ✼ ✲✽✾✿❀❁❋●✿❀❂❃❄❅❆❏ ✼ ✲✽❑▲▼◆✬ (❖P◗❘P❙❚❯❱❲❳◆◗ Fourier ❳◆❱❙❯❨✽❱❩❬❱❭❪❫ ◆) ◗❴❵✿❀ (❛✬❱❜ ✬❱❝✬) ❞❡❢❣❇❤✐❥❦❧◆✬✿❀♠❞♥●❨♦✾♣❇qrs t✉✈✇❞①②③❇✾④⑤❞❡❢✲✽◗❂❃✲✽⑥⑦⑧⑨❞◆✬✿❀⑩✱❶❷❸❇❈✾❹④❺ ❶♠❻❼❞◆✬✿❀⑩✱❞❽❾❿❊❡❢❏ ➀✴➁➂➃➄➅➆➇ ➈➋➌➉âã➅➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2 ✬✭) ➍➛◆➎➍➛➜◆ ➨ ◆ ❾➩➜ ◆ ➈➋➲➳. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭) ➍➛❚❯ Cauchy ➻❀ ✷ ➻❚❯ Cauchy ❚❯➼➽ ➚➪➶➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ✬✭) ➍ ◆❳◆ ➜ ◆❳◆ ❲❳◆ Taylor ③❅ Laurent ③❅ ➵➭➜ ◆❞➬➮➱➥ æ ◆➻❀ ❰Ï➳ÐÑÒÓ➶➉➦Ô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ✬✭) ♥❙❯❨✽❞♥➥ ◗➱➥ ❑❨✽♥➥Ö➺×❞❾ ❑❨✽Ø➓➱➥Ö➺×❞❾ Sturm–Liouville ❑❨✽❞✼❇ ➭⑩✱ ➉ôõáÐÑ➊à➦ö÷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ✬✭) ø ❞ùúû❨✽ ❜þ➨ ❨✽ ➆❝❩❞ Poisson ❨✽◗ Laplace ❨✽ ➻❾✂✄ Õ ➾❭ ❪☛❙❯❨✽❞❯❣☎✦➇ ➳✕➋✖Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 ✬✭) ❭❪❨✽❞☞✌➈❀ ✗✘✙➻ ø ❞ ✚ ✛ úû ✗✘✙➻ ø ❞✤✥úû ⑧✁ü❞➨❜ ⑩ ✱ ✜ ì ➸➺×❞ÿ➻⑩✱ ✼ ì ➸➺ ✏✍✎￾✁✂✄❞✍✎✦ Green ➜ ◆❞❡✼ ❯❱ (❡ ✼ ❾) ➲➳➋ïÒäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ✬✭) Laplace ➛ð Fourier ➛ð Legendre ➉➊➋❚✽➌➉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(6 ✬✭) ✻✰✱❁♠ Laplace ❨✽❞❯✺ ➛ ➘ Legendre ❨✽➎➟❄ Legendre ❨✽

Legendre多项式的基本性质(微分表示、积分表示、生成函数、递推关系、正交完备性)按 Legendre多项式展开 连带 Legendre函数和球面调和函数 柱函数 (6学时) 柱坐标系中 Laplace方程和 Helmholtz方程的分离变量 Bessel I函数的基本性质(递推关系、正交完备性)按 Bessel函数展开 虚宗量 Bessel函数 球 Bessel函数(初等函数表示、正交完备性)按球 Bessel函数展开 数值解法 (2学时) 数值微商二阶偏微分方程的有限差分法 非线性偏微分方程问题 (2学时) KdV方程的导出浅水波的孤波解 几点说明 1.对于本大纲所列内容与学时分配建议,教师可根据各校实际情况适当取舍调整。 2.本课程以数学物理方程为主,着重介绍分离变量法和最常用的两类特殊函数。 3.按照数学物理方程部分的要求,选择复变函数部分的教学内容,以提供必要的数学基 础。在费时不多的条件下适当照顾数学的系统性。数学阐述中,以正确理解、熟练应用定理结论 为主,主要定理给出证明,但严格性只作适当要求。 4.习题课可按实际需要安排

❴ ❵ ❛ ❜ 6 Legendre ❘✾➽❞❡✼ ❪ ➯ (❙❯➣↔❱❚❯➣↔❱❀❁➜ ◆❱❂❃⑨❁❱Ø✮✿❸❪) ➌ Legendre ❘✾➽③❅ ➟❄ Legendre ➜ ◆◗✻✞❅◗ ➜ ◆ ❆➌➉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ✬✭) ✸✰✱❁♠ Laplace ❨✽◗ Helmholtz ❨✽❞❯✺ ➛ ➘ Bessel ➜ ◆❞❡✼ ❪ ➯ (❂❃⑨❁❱Ø✮✿❸❪) ➌ Bessel ➜ ◆③❅ ❈❉➘ Bessel ➜ ◆ ✻ Bessel ➜ ◆ (➫▼➜ ◆➣↔❱Ø✮✿❸❪) ➌✻ Bessel ➜ ◆③❅ ➉❫➦Ô∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭) ◆➭❙❝ Õ ➾☛❙❯❨✽❞⑧➞❞❯♦ ◗❒❮✠Ï➳ÐÑ➍➎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ✬✭) KdV ❨✽❞➨➏ ➐➑✓❞➬✓❾ ❤✴✐❥❦❧ 1. ♠✢✼♥♦❄➙×♣ ☎✬✭❯qrs❇t✉❉✈✇①②é③ ë④qr⑤⑥❅⑦❏ 2. ✼ ✲✽❤ ◆✬✿❀❨✽✾♣❇➒➓st ❯✺ ➛ ➘♦◗❸♥●❞✗ ❣✑✒➜ ◆❏ 3. ➌➔◆✬✿❀❨✽✝ ❯❞❷❽❇→➣➍➛➜◆ ✝ ❯❞t✬×♣ ❇ ❤ ❿❊↔❷❞◆✬❡ ❢❏❑↕✭ ✷ ❘❞✂✄✹qr➔➙◆✬❞❁⑩❪❏◆✬➛➜♠❇ ❤ Ø➝❀❾❱➞➟❋●➻❀➠❬ ✾♣❇♣❷➻❀➡ ➏❻➢❇➤➥➦❪➧❶ qr❷❽❏ 4. ✰✱✲❉➌é③➨❷❿➀❏