《随机过程》第6章 方差分析

第6章方差分析 第6.1节方差分析的基本思想 第6.2节单因素方差分析 第63节双因素方差分析 返回《8

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第6.1节方差分析的基本思相國囗 在现实的生产和经营管理中,经常要分析各种因素对研 究对象某些特征值的影响 方差分析( analysis of variance)就是采用数理统计方法 对数据进行分析,以鉴别各种因素对研究对象的某些 特征值影响大小的一种有效方法. 研究对象的特征值,即所考察的试验(其涵义包括调查, 收集等)结果(如产品质量、数量、销量、成本等)称为 试验指标,简称指标,常用x表示 在试验中对所关心的“指标”有影响的、要加 以考察而改变状态的原因称为因素,用A,B 等大写英文字母表示 返回(8

返回 在现实的生产和经营管理中，经常要分析各种因素对研 究对象某些特征值的影响. 方差分析(analysis of variance)就是采用数理统计方法 对数据进行分析，以鉴别各种因素对研究对象的某些 特征值影响大小的一种有效方法. 研究对象的特征值， 即所考察的试验(其涵义包括调查， 收集等)结果（如产品质量、数量、销量、成本等）称为 试验指标，简称指标，常用x表示. 在试验中对所关心的“指标”有影响的、要加 以考察而改变状态的原因称为因素,用A，B，C 等大写英文字母表示. 第6.1节 方差分析的基本思想

因素在试验中所取的各种不同状态称为因素的水平 因素A的r个水平常用A1,A2,…,A表示, 其中r称为因素A的水平数 若在试验中考虑了因素的全部水平,则该因素称为固定因 素若在试验中仅随机选择了因素的部分水平,则该因素 称为随机因素 若只考察一个因素对指标的影响,这种试验称为单因素试 验,相应的方差分析就称为单因素方差分析 若一个试验中同时考察两个因素,则相应的试验称为双因 素试验,这时所作的方差分析称为双因素方差分析 在多因素试验中要考察的因素多于两个,相应的方差分析 称为多因素方差分析 返回(8

返回 因素在试验中所取的各种不同状态称为因素的水平. 因素A的r个水平常用A1，A2，…，A r表示， 其中r称为因素A的水平数. 若在试验中考虑了因素的全部水平，则该因素称为固定因 素;若在试验中仅随机选择了因素的部分水平，则该因素 称为随机因素. 若只考察一个因素对指标的影响，这种试验称为单因素试 验，相应的方差分析就称为单因素方差分析; 若一个试验中同时考察两个因素，则相应的试验称为双因 素试验，这时所作的方差分析称为双因素方差分析， 在多因素试验中要考察的因素多于两个，相应的方差分析 称为多因素方差分析

例6.1.1某公司为了研究三种内容的广告宣传对某 种无季节性的大型杋械销售量的影响进行了调査统计.经 告广泛宣传后,按寄回的广告上的订购数计算,一年四 季度的销售量(单位:台)为 广告类型第一季度第二季度第三季度第四季度 163 176 170 185 A 184 198 179 190 206 191 218 224 A1是强调运输方便性的广告,A2是强调节省燃料的经济性 的广告,A3是强调噪音低的优良性的广告试判断:新闻广 告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响?若影响显 著,哪一种广告内容为好? 新闻广告是所要检验的因素,三种不同的内容是 三个水平,这是一个单因素三水平的试验返回《A8

返回 例6.1.1 某公司为了研究三种内容的广告宣传对某 种无季节性的大型机械销售量的影响进行了调查统计.经 广告广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算，一年四 个季度的销售量(单位:台)为: 广告类型 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 A1 163 176 170 185 A2 184 198 179 190 A3 206 191 218 224 A1是强调运输方便性的广告，A2是强调节省燃料的经济性 的广告，A3是强调噪音低的优良性的广告.试判断:新闻广 告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响?若影响显 著，哪一种广告内容为好? 新闻广告是所要检验的因素，三种不同的内容是 三个水平，这是一个单因素三水平的试验

试验过程中各种偶然性(随机性)因素的干扰所致差异,称 为试验误差 如果差异单纯是由误差引起的,那么我们认为广告的不 同类型对销售量没有显著影响,则可简称因素(新闻 告)不显著,如果不同广告下销售量的不同,除了误差 影响外,主要是由于广告类型(水平)不同所造成的,那 么我们就认为因素的不同水平对销售量有显著影响,简 称因素显著. 方差分析就是通过对试验结果的分析去判断因素本身及 各因素间交互作用对指标是否影响显著的一种统计方法. 返回(8

返回 试验过程中各种偶然性(随机性)因素的干扰所致差异，称 为试验误差. 如果差异单纯是由误差引起的，那么我们认为广告的不 同类型对销售量没有显著影响，则可简称因素(新闻广 告)不显著，如果不同广告下销售量的不同，除了误差 影响外，主要是由于广告类型(水平)不同所造成的，那 么我们就认为因素的不同水平对销售量有显著影响，简 称因素显著. 方差分析就是通过对试验结果的分析去判断因素本身及 各因素间交互作用对指标是否影响显著的一种统计方法

第62节单因素方差分析 单因素方差分析( single factor analysis of variance)是 要判断因素各水平对指标是否有显著影响,归结为判 断不同总体是否有相同分布的问题 由于实际中常遇到的是具有正态分布的总体,同时, 在进行方差分析时,除了所关心的因素外,其他条件 总是尽可能使其保持一致,这样就可以认为每个总体 的方差是相同的,因而,判断几个总体是否具有相同 分布的问题就简化为检验几个具有等方差的正态总体 均值是否相等的问题. 返回(8

返回 单因素方差分析(single factor analysis of variance)是 要判断因素各水平对指标是否有显著影响，归结为判 断不同总体是否有相同分布的问题. 由于实际中常遇到的是具有正态分布的总体，同时， 在进行方差分析时，除了所关心的因素外，其他条件 总是尽可能使其保持一致，这样就可以认为每个总体 的方差是相同的，因而，判断几个总体是否具有相同 分布的问题就简化为检验几个具有等方差的正态总体 均值是否相等的问题. 第6.2节 单因素方差分析

1.数学模型 考虑的因素记为A,假定它有r个水平,并对水平A作了 n次观察,第ⅸ水平的第j次观察为x,这样可得观察资料 A1 x 11 x 12 x n A x x 2n A x x x 设x(j=1,2,3,…m)是来自总体NA,2)的简单随机样本, 检验 H:{1=42 =1 其中1=1+,En~N0,03 返回(8

返回 考虑的因素记为A，假定它有r个水平，并对水平Ai作了 ni次观察，第i水平的第j次观察为 xij ，这样可得观察资料 1 2 … i n A1 1 1 x 1 2 x … 1 1n x A2 2 1 x 2 2 x … 2 2n x … … … … … A r r1 x r 2 x … r r n x 设 是来自总体 的简单随机样本, N( , ) 2 xij( j = 1,2,3, ni ) i  , ~ (0, ) 2 xi j = i + i j  i j N  检验 H0 1 = 2 == r : 其中 1. 数学模型

记H=∑n,n=∑n,1=H1-H 则x=1+a1+6n,其中∑na1=0. Hn:/1=2 1r=1 等价于H0:a1=a2=…=arn=0 2.方差分析 记总观察次数n=∑n,组平均值=∑ 总平均值二∑∑x=∑mx,则有平方和分解式 返回(8

返回  =   =   =  −  = = i i r i i r i i i n n n n , , 1 1 1 记 x , n 0. r i 1 i j = + i + i j  i i = = 则    其中  H0 : 1 = 2 ==  r =  等价于 H0  :1 = 2 == r = 0 记总观察次数 ，组平均值 ， 总平均值 ，则有平方和分解式: = = r i 1 i n n = = ni j 1 ij i i x n 1 x   = = = = = r i 1 i i r i 1 n j 1 ij n x n 1 x n 1 x i 2. 方差分析

Q=∑∑(x-x)2=∑∑(x1-x)2+∑n(x-x)=Q+Q Q称为总离差平方和,简称总平方和,它反映全部数据之间 的差异; Q1称为误差平方和或组内平方和,反映了随机误差的影响; Q2称为组间平方和或因素A的平方和,反映了各总体的样本 平均值之间的差异,在一定程度上反映了1间的差异程度, 因而通过Q2与Q的相对大小可以反映H是否成立 若Q2显著地大于Q1,说明x;间的差异显著地大于随机 误差,那么H可能不成立 返回(8

返回 1 2 r i 1 2 i i r i 1 n j 1 2 i j i r i 1 n j 1 2 Q ( xi j x ) ( x x ) n ( x x ) Q Q i i =  − =  − + − = + = = = = = Q称为总离差平方和，简称总平方和，它反映全部数据之间 的差异； Q1称为误差平方和或组内平方和，反映了随机误差的影响； Q2称为组间平方和或因素A的平方和，反映了各总体的样本 平均值之间的差异，在一定程度上反映了 间的差异程度， 因而通过Q2与Q1的相对大小可以反映H0是否成立.  i 若Q2显著地大于Q1，说明 间的差异显著地大于随机 误差，那么H0可能不成立. i x

取 F Q,/n-r成立~F(r-1n-, 给定显著性水平a,当P{F(r-1n-r)>F}<a时拒绝H 也就是说有l-C的把握认为因素对指标有显著影响, 即p1间的差异是显著的 返回(8

返回 | ~ F(r 1,n r ), Q n r Q r 1 F H0 1 2 − − − − = 成立 取 也就是说有 的把握认为因素对指标有显著影响， 即 间的差异是显著的. 1−  i 给定显著性水平 ,当P{F(r −1,n − r)  F}  时,拒绝H0