《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.4）初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数

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初等函数的求导问题 1常数和基本初等函数的导数公式 (C)=0 (x2)= (sin x)=cos x sin x (tanx)’=sec2x(cotx) (sec x)=sec x tan x (csc x)=-CSc x cot x )=an (e)=e (log x)'= (hn x) xin a X

一、初等函数的求导问题 (C) = 0 1.常数和基本初等函数的导数公式 1 ( ) −  =   x x a a a x x ( ) = ln x x (e ) = e x x 2 (tan ) = sec (sin x) = cos x (sec x) = sec x tan x (csc x) = −csc x cot x (cos x) = −sin x x x 2 (cot ) = −csc x a x a ln 1 (log ) = x x 1 (ln ) =

(arcsin x) VI-y2(arccos x)'=-1 (arctan x) (arc cot x) 1+x x 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),v=v(x)可导,则 (1)(u±p)=!±p,(2)(cn)'=cn'(C是常数) (3)(u)=up+wvy,(4)() uuv 2(v≠0)

2 1 1 (arcsin ) x x −  = 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u = u( x), v = v( x)可导，则 （3） uv  = u  v + uv  ( ) , ( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u （4） . （2） cu  = cu  （1）(u  v)  = u   v  , ( ) ( C 是常数) 2 1 1 (arctan ) x x +  = 2 1 1 ( cot ) x arc x +  = − 2 1 1 (arccos ) x x −  = −

3复合函数的求导法则 设y=f(l)而=(x)2 复合函数y=/((x)的导数为 d=20.2或1(x)=f()g(x) 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决 注意:初等函数的导数仍为初等函数

3.复合函数的求导法则 设y = f (u), 而u =(x), 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. ( ) ( ) ( ). [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f x   =   =    = 或 则复合函数 的导数为

例1求函数y=√x+√x+√x的导数 解y (x+√x+√x) 2√x+√x+√x (1+ x+√x 2√x+√x+√x2√x+√x (1+ 1(1+2、x )) 2√x+√x+√x2√x+√x 4√x2+x√x+2√x+1 8√x+√x+√x x+xxx

例 1 求函数 y = x + x + x 的导数. 解 ( ) 2 1 + +  + +  = x x x x x x y ( ) ) 2 1 (1 2 1 +  + + + + = x x x x x x x )) 2 1 (1 2 1 (1 2 1 x x x x x x + + + + + = . 8 4 2 1 2 2 x x x x x x x x x x + +  + + + + =

例2y= SInn·six J= n. cosnX·sin"x+ SInn·n·Si(n-1) x. cost =n sin" x(cos nx.sin x+sin nx. cos x) =n sin"xsin(n+1)x

例2 y nx x n = sin sin y n nx x nx n x x n n cos sin sin sin cos ( 1)  =   +    − sin (cos sin sin cos ) 1 n x nx x nx x n =   +  − n x n x n sin sin( 1) 1 =   + −

例3求函数y=fp"(sinx")的导数 解y'=nf"qp"(sinx")·∫'φ"(sinx") nop(sinx")φp'sinx")·cosx"·nx =n3·x"cosx"·f∫"Iq"(sinx") φ"(sinx")·∫1φ"(sinx")φp(sinx")

例 3 求函数 [ (sin )]的导数. n n n y = f  x 解 [ (sin )] [ (sin )] n 1 n n n n y = nf  x  f   x − (sin ) (sin ) n 1 n n  n x   x − 1 cos −   n n x nx (sin ) [ (sin )] (sin ). cos [ (sin )] 13 1 1 n n n n n n n n n n x f x x n x x f x       =     − − −

双曲函数与反双曲函数的导数 Shx)=chx (chx)=shx hx thx cnx chr-sh x ∷(hx) chx (thx chx

二、双曲函数与反双曲函数的导数 (shx) = chx (chx) = shx chx shx thx = ch x ch x sh x thx 2 2 2 ( ) −   = 即 ch x thx 2 1 ( ) =

arshx=In(x+1+x) x+vI+x arsnx x+√1+x (1+ )= x+√1+x 2 √1+x2√1+x 2 同理( rohr=1 2 ar thx) 2

同理 ) 1 (1 1 1 2 2 x x x x + + + + = 2 1 1 + x = 1 1 2 − = x 2 1 1 − x = ln( 1 ) 2  arshx = x + + x 2 2 1 ( 1 ) ( ) x x x x arshx + + + +    = ( ar chx) ( arthx)

小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出 关键:正确分解初等函数的复合结构

三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构