《线性代数》第三章 向量空间（3.5）内积、正交化、正交矩阵

1向量的内积、长度、夹角 五.内积、正交化、正交矩阵 2 Schmid正交化、单位化法。 3正交矩阵 向量的内积、长度、夹角 定义1:n维实向量a 称(a,B)=ab+a2b2+…+anbn(b1 若,B为行向量,则(a,)=0(4a7B 152 为向量c与B的内积

1 五. 内积、正交化、正交矩阵. 1.向量的内积、长度、夹角。 2.Schmidt正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1：n维实向量 1 2 n a a a      =         1 2 n b b b      =         称 1 1 2 2 ( , ) n n   = + + + a b a b a b 1 2 1 2 ( , , , ) T n n b b a a a b       = =         为向量  与  的内积。 若 , 为行向量，则 ( , ) T    =

向量内积的性质: (1)(a,B)=(B,a) 对称性 (2)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) 线性性 (3)(ka,B)=k(a,B) (4)(a,a)≥0 正定性 等号成立当且仅当a=0 定义2:实数l|=√a,a)= 称为向量的长度(或模,或范数) 若a|=1,称a为单位向量。 2

2 向量内积的性质： (1)( , ) ( , )     = (2)( , ) ( , ) ( , )        + = + (3)( , ) ( , ) k k     =  线性性 对称性 (4)( , ) 0    等号成立当且仅当  = 0 正定性 定义2：实数 2 2 2 1 2 ( , ) n    = = + + + a a a 称为向量的长度（或模，或范数） 若  = 1, 称  为单位向量

把向量单位化:若a≠0,则|≠0 考虑( i(a, a) C|= a 即一的模为1,为单位向量,称为把c单位化 向量长度的性质: (1)非负性:当a≠0时,>0 当a=0时,a|=0 (2)齐次性:kc|=k|arl (3)柯西一施瓦兹不等式:(a,月)≤a|B (4)三角不等式:+∥B≤l+|

3 把向量单位化： 若   0, 则   0 考虑 2 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 1          = = = 即   的模为1，为单位向量，称为把  单位化。 向量长度的性质： （1）非负性： 当   0 时，   0 当  = 0 时，  = 0 （2）齐次性： k k   = （3）柯西—施瓦兹不等式： ( , )      （4）三角不等式：    +  +

非零向量a和B的夹角余弦:c(a,B=:) 定义3:非零向量a,B的夹角是 (a,B) (a,B) arccos a 定义4:当向量a,B的内积为零时,即(a,B)=0时, 即a⊥B时,称向量a,B正交 注:(1)零向量与任何向量都正交。 (2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间

4 非零向量  和  的夹角余弦: ( , ) cos ,       = 定义3：非零向量  , 的夹角是 ( , ) , arccos       = 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量  , 的内积为零时，即 ( , ) 0   = 时， 即   ⊥ 时，称向量  , 正交。 定义4：

2. Schmidt正交化、单位化法。 定义5: 正交向两组:非零实向量a1a2,…,a,两两正交 正交单位向量组:非零实向量a1,a2…,a,两两正交, (标准正交向量组)且每个向量长度全为1 即( a,)==D l≠ 定理:正交向量组是线性无关的 schmid正交化、单位化法: 例:书p100例351

5 2. Schmidt正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量 1 2 , , ,    s 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 1 2 , , ,    s 两两正交， 且每个向量长度全为1。 1( ) ( , ) 0( ) i j i j i j    = =    即 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1

3.正交矩阵 定义6:A是一个m阶实矩阵,若AA=E 则称A为正交矩阵。 定理:设A、B都是n阶正交矩阵,则 (1)4=1或|4=-1 (2)A=A (3)4(即A4)也是正交矩阵 (4)AB也是正交矩阵

6 3. 正交矩阵 定义6：A是一个n阶实矩阵，若 , T A A E= 则称A为正交矩阵。 定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则 (1) 1 A = 或 A = −1 1 (2) T A A − = 1 (3) ( ) T A A 即 − 也是正交矩阵。 (4)AB 也是正交矩阵

定理:n阶实矩阵A是正交矩阵 今A的列(行)向量组为单位正交向量组 证明:设A=: nn 将A按列分块,设A=(a1,O2…,Cn) A是正交矩阵兮→AA 19295n

7 定理：n阶实矩阵A是正交矩阵  A的列（行）向量组为单位正交向量组。 证明：设 11 1 1 n n nn a a A a a     =       将A按列分块，设 1 2 ( , , , ) A =    n A是正交矩阵 1 2 1 2 ( , , , ) T T T n T n A A            =        

2 19c1 19c2 19 9c1 (an,a,(am, a2) 即( a.a i 9 0(≠j 即A的列向量组是单位正交向量组。 注:n个n维向量,若长度为1,且两两正交,责备以它们为列 (行)向量构成的矩阵一定是正交矩阵。 练习:书p1053.21

8 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 T T T n T T T n T T T n n n n                         =       1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n                       =         1 1 1 1     =         1( ) ( , ) 0( ) i j i j i j    = =    即 即A的列向量组是单位正交向量组。 注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列 （行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。 练习：书p105 3.21