《线性代数》第六章 二次型（6.1）二次型及其矩阵表示

第六章二次型 二次型及其矩阵表示 二次型的标准形 惯性定理和规范形 四.正定二次型

1 三. 惯性定理和规范形 四. 正定二次型 一. 二次型及其矩阵表示 二. 二次型的标准形 第六章 二次型

二次型 次型及其矩阵表示 二次型的矩阵、秩 2.非退化线性变换 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩3矩阵的合同 定义1:含有n个变量X1X2,…,xn的二次齐次多项式 f(x1,X2, +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2 +a22+2a23x2x3+…+202nx2xn a x2,+2 n-1,n nn taX 称为二次型。(1) 2

2 一. 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 1.二次型、 二次型的矩阵、秩 2. 非退化线性变换 3.矩阵的合同 称为二次型。（1） 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x − − − − − = + + + + + + + + + + + 2 nn n + a x 定义1：含有 n 个变量 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式

实二次型:n为实数。(我们仅讨论实二次型) 复二次型:a为复数。 例如:f(x,y)=x2+4xgy+5y2 f(x, y, z)=2x+y+xz +yz 都是二次型。 ∫(x1,x2,x3,x)=x1x2+x2x3+x2x4 f(x,y)=x2+y2+5 不是二次型 f(x,y)=2x2-y2+2x

3 实二次型： aij 为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型： aij 为复数。 例如： 2 2 f x y x xy y ( , ) 4 5 = + + 2 2 f x y z x y xz yz ( , , ) 2 = + + + 1 2 3 4 1 2 2 3 2 4 f x x x x x x x x x x ( , , , ) = + +      都是二次型。 2 2 f x y x y ( , ) 5 = + + 2 2 f x y x y x ( , ) 2 2 = − +    不是二次型

只含有平方项的二次型f=k1y2+k2y2+…+kny2 称为二次型的标准形(或法式)。 例如:f(x1,x2,x)=2x2+4x2+5x3-4x1x3 f( 19293 x1x2+xx3+x2r3 都为二次型; f(x1,x2,x3)=x2+4x2+4x3 为二次型的标准形

4 只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）。 例如： ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形。 ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

取an=an 则2anxx=nxx+anx 则(1)式可以表示为 ∫=a1x1+a12x1x2+…+a1nx1x +a xx,十,X+∷十2…xX 21~2 十 二次型用和号表示 十axx1+xX+…十ax nn ∑ l, =x1(a1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(21x1+a2x2+…+a2nn) +x(amx,+am2x2+ . +amnxn)

5 2 2 11 12 2 1 1 2 1 21 1 22 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n nn n n n f a a x a x a x a x x a x x x x a a a x x x x x = + + + x + + + + + + + + + ij ji 取 a a = 2 ij i j ij i j ji i j 则 a x x a x x a x x = + 则（1）式可以表示为 1 11 1 12 2 1 ( ) n n = + + + x a x a x x a 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x x a + 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x , 1 n ij i j i j a x x = =  二次型用和号表示

11X1+a1X+…+1,X 12 2 nn 211+ x,+∷+a,.X 22~2 ann 15~2 n1x1+an2X2+…+ a. 11 12 In 22 n 19299 n2 mn

6 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =     + + +   11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x          =         

11 2 令 2 n2 n 则∫=X7AX 二次型的矩阵表示 其中A为对称矩阵。 例如:二次型f(x1,x2,x3)=x1-3X2-4x1x2+x12x3 =(x 20 3 3 2

7 1 2 n x x X x       =       11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a     =         令 T 则 f X AX = 其中 A 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示 1 1 2 3 2 3 1 -2 0 1 ( , , ) -2 0 2 1 0 -3 2 x x x x x x         =              2 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 例如：二次型 ( , , ) 3 4 f x x x x x x x x x = − − +

在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型,就唯一确定一个对称矩阵; 反之,任给一个对称矩阵,也可唯一确定一个二次型 这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 定义2:二次型∫=XAX 把对称矩阵A称为二次型∫的矩阵 也把二次型∫称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型∫的秩

8 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 T 定义2： 二次型 f X AX =

例1:求二次型∫的矩阵 (1)f(x,y,z) +2y2-2x1x2+9x2x3 解 1232 0320 (2)f(x1,x2,x3,x)=x1+2x2+7x4一2x1x2-2x2x3+4x3x4 解:4 0027 2

9 2 2 1 2 1 2 2 3 (1) ( , , ) 2 2 3 f x y z x x x x x x = + − + 例1：求二次型 f 的矩阵 1 1 0 3 1 2 2 3 0 0 2 A     −   = −          解： 222 1 2 3 4 1 2 4 1 2 2 3 3 4 (2) ( , , , ) 2 7 2 2 4 f x x x x x x x x x x x x x = + + − − + 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 2 0 0 2 7 A   −   − − =     −     解：

(3)∫(x,…,x)=xx2+x2x+…+xn1xn 2 2 2 解:A1= 2 2

10 x xn x x x x xn xn f 1 1 2 2 3 1 (3) ( , , )  = + ++ − 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 A     =   解：