湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 欧氏空间（1/3）

第五章 0.5 yf(1+x2+ 5 0.5 0 5 0 5 5

第五章

本章主要讲迷以下几个方面的内容 、建立R中内积概念并推广至n维向量空间. 二、介绍欧氏空间R及其正交基的概念与求法 、三维欧氏空间中向量积与混合积 四、R中直角坐标系下直线与平面方程 五、空间曲面,空间曲线及其方程 六、实内积空间与欧氏空间的介绍 第五章

第五章 工 程 数 学 本章主要讲述以下几个方面的内容: 一、建立 R3 中内积概念并推广至 n 维向量空间. 二、介绍欧氏空间 Rn及其正交基的概念与求法. 三、三维欧氏空间中向量积与混合积. 四、R3中直角坐标系下直线与平面方程. 五、空间曲面, 空间曲线及其方程. 六、实内积空间与欧氏空间的介绍

§1内积、欧氏空间Rn 几何空间中向量的内积 1.空间向量及两向量的夹角(回顾) 实际问题中,既有大小又有方向的物理 量称为向量 第五章

第五章 工 程 数 学 §1 内积、欧氏空间Rn 一、几何空间中向量的内积 1. 空间向量及两向量的夹角 (回顾) 实际问题中, 既有大小又有方向的物理 量称为向量

几何上用有向线段表示一个向量,线段的 长度表示向量的大小 空间向量为自由向量.在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点,称之为向径 点向M(x,y2z) OM=(x,y,2) 第五章

第五章 工 程 数 学 几何上用有向线段表示一个向量, 线段的 长度表示向量的大小. 空间向量为自由向量. 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为向径. 点向 M(x, y, z) OM= (x, y, z)

向量a=(x,y,z)的长度 la=vx2+y 向量的方向角c= arccos B arccos r= arccos 第五章

第五章 工 程 数 学 向量 a=(x, y, z) 的长度 2 2 2 | a |= x + y + z 向量的方向角 , | | arccos a x  = , | | arccos a y  = . | | arccos a z  =

将空间两向量a,b的起点移至一点O, 两有向线段的夹角(0≤0≤丌),称为向量a 与b的夹角,记为(a,b) 当b 时,称a与b垂直(正交),记作a⊥b 当决=0或z时,称a与b平行(共线),记作a/b 第五章

第五章 工 程 数 学 将空间两向量 a, b 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角 (0≤≤ )，称为向量a 与b的夹角, a b 当 2   = 时，称 a 与 b 垂直(正交)，记作a⊥b. 当=0或  时，称 a 与 b 平行(共线)，记作a//b. a b o   记为(a, b)

2.空间向量的内积 例如,常力f作用于物体,使之产生位移S, 了f 这个力所作的功为 W=fs cos(f, s) 第五章

第五章 工 程 数 学 例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s, s f cos( , )  W = f s f s 2. 空间向量的内积. 这个力所作的功为

定义1)设a,b∈R,记a与b的夹角为(a,b) 称数a|bcos(a,b)为向量a与b的内积(数量 积),记为ab,即 ab=a cos(a,b) 第五章

第五章 工 程 数 学 定义1 设a, bR3 , 记 a 与b 的夹角为 ( , )  a b 称数 cos( , )  a b a b 为向量a 与b 的内积( 数量 积 ), 记为 a ·b , 即 cos( , )  a  b = a b a b (1)

3.内积的坐标表示 在直角坐标系下,设空间向量a=(x1,y,z1), b=(x2,y2z2),由于a,b及|a-b构成三角 形的三条边 则由余弦定理知: a-b b 2 a+b-2 cos(a, b) C 第五章

第五章 工 程 数 学 3. 内积的坐标表示. 在直角坐标系下, 设空间向量a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ), 由于a ,  b 及 a− b 构成三角 形的三条边, 2 a − b 2 cos( , ) 2 2  = a + b − a b a b a b a−b 则由余弦定理知:

6 cosla. b a+b b) 2x++21+x2+12+2-(x-x)-(-2)-(1-2) x1x2+y1y2+2122 所以ab=xx2+y2+212(2 第五章

第五章 工 程 数 学 即 cos( , )  a b a b ( ) 2 1 2 2 2 = a + b − a − b [ ( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = x + y + z + x + y + z − x − x − y − y − z − z 1 2 1 2 1 2 = x x + y y + z z 所以 1 2 1 2 1 2 a b = x x + y y + z z (2)