湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 欧氏空间（2/3）

第五章 0.5 yf(1+x2+ 5 0.5 0 5 0 5 5

第五章

84三维欧氏室间中直线和平面方程 直线方程 定义 如果一个非零向量s可平移至直线L 上,则称s平行于L,记作s∥L 与直线平行的非零向量称为直线L的 方向向量 第五章

第五章 工 程 数 学 定义 §4 三维欧氏空间中直线和平面方程 一、直线方程 如果一个非零向量 s 可平移至直线 L 上，则称 s 平行于L，记作 s // L. 与直线平行的非零向量称为直线 L 的 方向向量

思考: 几何上哪些条件可确定一条直线呢? 过一点且与已知直线平行的直线是唯一的 两点可确定一条直线 第五章

第五章 工 程 数 学 思考： 过一点且与已知直线平行的直线是唯一的. 两点可确定一条直线. 几何上哪些条件可确定一条直线呢？

1.直线过定点,且方向向量已知,求直线方程 给定空间一点P0x,y,=0),向量s=(m,n p),则过P点以s为方向向量的直线L是唯一确 定的设P(x,y,=)为L上任意一点,则P0P∥s 两向量平行的充要条件是它们的对应分量成比 例,而PP=(x-x0,y-y0,=-=0) 故有 X-x yo 0 第五章

第五章 工 程 数 学 1. 直线过定点，且方向向量已知，求直线方程 故有 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − (1) 给定空间一点P0 (x0 , y0 , z0 )，向量 s = (m, n, p), 则过P0点以 s 为方向向量的直线L是唯一确 定的. 设P(x, y, z)为L上任意一点，则 P0P // s. ( , , ), 0 0 0 0 P P = x − x y − y z − z 两向量平行的充要条件是它们的对应分量成比 例，而

x-x0y-y02=20 方面,直线L上的点必满足方程(1), 反过来,满足方程(1)的点P(x,y,z)必使PoP∥s 即P一定在L上.因此方程(1)表示过点(x,y,=0) 且以s=(m,n,p)为方向向量的直线方程,称为 直线的对称式(点向式)方程 第五章

第五章 工 程 数 学 一方面，直线 L 上的点必满足方程(1)， 反过来，满足方程(1)的点 P(x, y, z)必使 P0P // s. 即P一定在L上. 因此方程(1)表示过点(x0 , y0 , z0 ) 且以 s =(m, n, p)为方向向量的直线方程，称为 直线的对称式(点向式)方程. p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − (1)

在(1)式中令比例系数为t,则有 x=xotmt y=yount t∈R (2) z=zotpt (2)式称为直线的参数方程,当t取遍每一实数 时,P(x,y,z)便是直线上的所有点 第五章

第五章 工 程 数 学 在(1)式中令比例系数为t，则有 x = x0+mt y = y0+nt z = z0+pt tR (2) (2)式称为直线的参数方程，当 t 取遍每一实数 时，P(x, y, z) 便是直线上的所有点

注意:方程(1)中,当mn,p中有一个或 两个为0时,应仿照下面的举例来 理解 例如:当m=0,n、p≠0时, x-x0y-y02-20 0 12 X-X 理解为 y=y 0 第五章

第五章 工 程 数 学 注意：方程(1)中，当 m, n, p 中有一个或 两个为0时，应仿照下面的举例来 理解. 例如：当 m=0, n、p0时， p z z n x x y y 0 0 0 0 − = − = − 理解为 p z z n y y0 − 0 = − x = x0

当m=0,n=0,p≠0时, x-xo y-yo 0 理解为 第五章

第五章 工 程 数 学 当 m = 0, n = 0, p  0 时， p x x y y z z 0 0 0 0 0 − = − = − 理解为 x = x0 y = y0

2.直线过两点,求直线方程 如果我们知道直线过两个已知点,也 就知道了它的方向向量,则由对称式方程 可求直线方程 第五章

第五章 工 程 数 学 如果我们知道直线过两个已知点，也 就知道了它的方向向量，则由对称式方程 可求直线方程. 2. 直线过两点，求直线方程

例1.设一条直线过M1(1,2,1),M2(2,-1,3)两 点,求此直线方程 解:S=MM2=(2-1,-1-2,3-1)=(1,-3,2) 故 x-1y-2 为所求直线方程 第五章

第五章 工 程 数 学 例1. 设一条直线过M1 (1, 2, 1), M2 (2, −1, 3)两 点，求此直线方程. 解： S = M1 M2 =(2−1, −1 −2, 3−1) 故 z x y z 1 3 2 1 1 − = − − = − 为所求直线方程. =(1, −3, 2)