《线性代数》第三章 向量空间（习题课）

第三章习题课 向量组的线性相关性 二.矩阵的秩、向量组的秩的求法 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 四.正交化与正交矩阵

1 第三章 习题课 一. 向量组的线性相关性 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 四. 正交化与正交矩阵

向量组的线性相关性 1.向量间的线性运算:加法、数乘。 把向量理解为列矩阵或行矩阵时,事实上就是矩阵的加法 和数乘。 注意:(1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时,维数与其它向量维数相同。 2.线性组合、线性表示 (1)判断向量B可由向量组a1,C2,…,cm线性表示的常用方法 方法1:k1a1+k2a2+…+kn2am+km+1B=0 只要证出kn+1≠0, 就可得出B=-a n m+1 m+1 n+1

2 一. 向量组的线性相关性 1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法 和数乘。 注意: (1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。 2. 线性组合、线性表示 (1) 判断向量  可由向量组    1 2 , , , m 线性表示的常用方法 方法1： 1 1 2 2 1 0 m m m k k k k     + + + + = + 只要证出 1 0, m k +  就可得出 1 2 1 2 1 1 1 m m m m m k k k k k k     + + + = − − − −

方法2:证下列线性方程组有解 1X1+a12X2+ 21 22 十 十 2mm aux t anrr2 n1 其中a=a2,B=: 方法3:利用矩阵的初等行变换 (a1,Ox2,…,On,)—>行最简形矩阵

3 方法2：证下列线性方程组有解 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 其中 1 1 2 2 , i i i ni n a b a b a b           = =                 方法3：利用矩阵的初等行变换 1 2 ( , , , , )     m ⎯⎯→ 行最简形矩阵

(2)在判断或证明中,常用到的两个重要结论 结论1:向量B可由向量组a1,2,…,am线性表示 分r(a1,2,…,Cn)=r(1,a2,…,Cm,B) 结论2:若向量组a1,a2,…,Om线性无关, 而向量组a1,a2…,an,B线性相关, 则向量必能由向量组a1,C2,…,m线性表示, 且表示式唯一

4 (2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论 结论1：向量  可由向量组    1 2 , , , m 线性表示 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , , ) m m  = r r        结论2：若向量组 1 2 , , ,    m 线性无关， 而向量组 1 2 , , , ,     m 线性相关， 则向量  必能由向量组    1 2 , , , m 线性表示， 且表示式唯一

3.线性相关性的判别方法 (1)一般方法:设数k1,k2,…,km 使得k1a1+k,a2+…+knan=0成立 转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。 (2)利用常用结论: 1个零向量线性相关;一个非零向量线性无关。 2个非零向量线性相关分>对应分量成比例 n+1个n维向量线性相关。 部分相关→整体相关;整体无关→部分无关。 原向量组无关,维数增加后得到的新向量组依然无关; 原向量组相关,维数减少后得到的新向量组依然相关

5 (2) 利用常用结论： 1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。 2个非零向量线性相关  对应分量成比例 n＋1个n维向量线性相关。 部分相关  整体相关；整体无关  部分无关。 3. 线性相关性的判别方法 (1) 一般方法：设数 1 2 , , , m k k k 使得 1 1 2 2 0 m m k k k    + + + = 成立 转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。 原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关； 原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。 

(3)利用向量组的秩判断: 设向量组c1,2,…,Cm的秩为r 当r<m时,C1,C2,…,Cm线性相关; 当r=m时, 1929 ,am线性无关 4.极大无关组的选取或证明 (1)初等变换法(最常用) 初等行变换 将列向量组写成矩阵 →行阶梯或行最简形矩阵 例如:求向量组 a1=(1,-1,2,4,a2=(0,3,1,2,x3=(3,0,7,14), a4=(1,-1,2,0),a5=(2,1,5,6的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示

6 (3) 利用向量组的秩判断： 设向量组 1 2 , , ,    m 的秩为 r 当 r m= 时，    1 2 , , , m 线性无关。 当 r m 时，    1 2 , , , m 线性相关；  4. 极大无关组的选取或证明 (1) 初等变换法（最常用） 将列向量组写成矩阵 ⎯⎯→ 初等行变换 行阶梯或行最简形矩阵 的一个极大无关组， 例如：求向量组 1 2 3 4 5 (1, 1,2,4), (0,3,1,2), (3,0,7,14), (1, 1,2,0), (2,1,5,6)      = − = = = − = 并把其余向量用该极大无关组线性表示

解:(10312 0301 1|初等行变剡01101 1725 00011 421406 00000 19c2004 是一个极大无关组 并且3=301+a2 5 =1ax,+1a,+1a, 考虑:还有那些极大无关组?a1,C2,C5 1,034 190395

7 解： 1 2 4    , , 是一个极大无关组 并且 3 1 2 5 1 2 4 3 1 1 1        = + = + + 考虑：还有那些极大无关组？ 1 2 5 1 3 4 1 3 5 , , , , , ,          初等行变换 1 0 3 1 2 1 0 3 0 1 1 3 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 7 2 5 0 0 0 1 1 4 2 14 0 6 0 0 0 0 0 A         − − = ⎯⎯→                

(2)极大无关组的证明 方法1:利用定义(a1,a2,…,,线性无关; 其它向量都可由a1,C2…,r1线性表示 (即向量组中任意r+1个向量都线性相关) 方法2:已知a1,2,…,C是向量组A的一个极大无关组, 又A中部分组cn,a12,…,cn,与ax1,Q2…,ax,等价, 则a1,a2,…,a,也是A的一个极大无关组。 例如:设a1,a2,O3是向量组A的极大无关组,且 B1=a1+a2+ax3,B2=a1+a2+2a3 B3=a1+2a2+303 证明B1,B2,/3也是A的极大无关组

8 (2) 极大无关组的证明 方法1：利用定义 1 2 , , ,    r 线性无关；  其它向量都可由 1 2 , , ,    r 线性表示。 （即向量组中任意r+1个向量都线性相关） 方法2：已知 1 2 , , ,    r 是向量组A的一个极大无关组， 又A中部分组 1 2 , , , r    l l l 与 1 2 , , ,    r 等价， 则 1 2 , , , r    l l l 也是A的一个极大无关组。 例如：设 1 2 3    , , 是向量组A的极大无关组，且 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 .             = + + = + + = + + 证明    1 2 3 , , 也是A的极大无关组

证明:(往证a1,a2a3与月,2,月3等价) 1=1+a2+c3, B2=1+a2+2a3, 3=a1+2a2+3ax3 向量组,2,3可由向量组1,22,3线性表示 又 B1+B2-B3, B1-2B2+B3, B1+B2 向量组a1,C2,C3可由向量组1,B2,B3线性表示 ∵两个向量组等价 B1,B2,3也是极大无关组

9 证明： （往证    1 2 3 , , 与    1 2 3 , , 等价） 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 , 2 , 2 3 .             = + + = + + = + +  向量组    1 2 3 , , 可由向量组    1 2 3 , , 线性表示。 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 , 2 ,            = + − = − + = − + 又  向量组    1 2 3 , , 可由向量组    1 2 3 , , 线性表示。  两个向量组等价 1 2 3     , , 也是极大无关组

矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后,看非零行的行数。 三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理: (1)若向量组ax1,O2…,C可以由向量组B1,B2,…,月 线性表示,则r(a1,a2…,a,)≤r(月1,2,…,B) (2)若向量组a1,a2,…,a,可以由向量组月,B2…,月 线性表示,并且a1,O2…,C线性无关,那么S≤t

10 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后，看非零行的行数。 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理： （1）若向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，则 1 2 , , ,    s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) s t r r        （2）若向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，并且 1 2 , , ,    s    1 2 , , , s 线性无关，那么 s t 