《MATLAB数值方法在生物医学工程中的应用》课程教学资源（授课教案）

课程名称：MATLAB数值方法在生物医学工程中的应用适用专业：生物医学工程教材及参考书：1.MATLAB数值计算.CleveB.Moler著，喻文健译，机械工业出版社，20202.数值方法在生物医学工程中的应用.StanleyMD,AlkisC,PrabhasVM著，封洲燕译机械工业出版社，20093.数值方法（MATLAB版）JohnHM，KurtisDF著、周璐、陈渝、钱方译，电子工业出版社，20054.Matlab数值分析与应用张德丰，国防工业出版社，20075.MATLAB数值分析与应用.宋叶志、贾东永，机械工业出版社，2009第一章生物医学系统建模（2学时）一、学情分析教学内容分析：本章主要讲解生物医学工程的基本特点；如何创建工程模型；利用计算机求解生物医学模型的范例；课程介绍教学对象分析：学生对工程建模、数值方法相关内容的了解程度有差异，教学中要注意对内容讲解时深浅度的把握，尽量顾及大多数，同时激励对此部分内容了解较多的同学分享自己的科研经历，参与教学，交流学习心得。二、教学目标设计1）知识目标掌握：创建工程模型的方法和实现步骤，了解：a）数值分析在生物医学工程领域的应用价值b）了解计算机求解生物医学模型的典型范例和意义；c）了解课程基本内容。三、教学重难点重点：掌握工程模型创建方法及求解的基本步骤难点：工程建模如何确定被研究现象所遵循的守恒定律重难点处理：以细胞膜跨膜电位差计算这一具体问题为例，提出问题，引导学生按照建模的方法界定要分析的系统，进一步确定需要考虑的广度性质分析的系统及所遵循的守恒定理确定要分析的过程，思考、写成遵循守恒定律的数学公式。由理论-方法-实践-方法，不断加深学生对方法的理解和掌握。四、教学方式充分利用多媒体教学手段，采用以问题为导向、通过分组讨论，师生互动围绕教学内容开展教学活动。五、教学特色与创新从理论分析到方法的介绍入手，然后结合实例，提出问题，按照步骤一步步引导学生如何按照流程建立数学模型，形成从理论到方法，通过实践再回到方法的螺旋式上升的认知途径

课程名称：MATLAB 数值方法在生物医学工程中的应用 适用专业：生物医学工程 教材及参考书： 1. MATLAB 数值计算. Cleve B. Moler 著，喻文健 译，机械工业出版社，2020 2. 数值方法在生物医学工程中的应用. Stanley MD, Alkis C, Prabhas VM 著，封洲燕 译 机 械工业出版社, 2009 3. 数值方法（MATLAB 版）John HM，Kurtis DF 著、周璐、陈渝、钱方译， 电子工业出版 社，2005 4. Matlab 数值分析与应用. 张德丰，国防工业出版社，2007 5. MATLAB 数值分析与应用. 宋叶志、贾东永, 机械工业出版社，2009 第一章 生物医学系统建模 （2 学时） 一、学情分析 教学内容分析： 本章主要讲解生物医学工程的基本特点；如何创建工程模型；利用计算机求解生物医学模型 的范例；课程介绍 教学对象分析： 学生对工程建模、数值方法相关内容的了解程度有差异，教学中要注意对内容讲解时深浅度 的把握，尽量顾及大多数，同时激励对此部分内容了解较多的同学分享自己的科研经历，参 与教学，交流学习心得。 二、教学目标设计 1）知识目标 掌握：创建工程模型的方法和实现步骤； 了解：a) 数值分析在生物医学工程领域的应用价值 b) 了解计算机求解生物医学模型的典型范例和意义； c) 了解课程基本内容。 三、教学重难点 重点：掌握工程模型创建方法及求解的基本步骤 难点：工程建模如何确定被研究现象所遵循的守恒定律 重难点处理：以细胞膜跨膜电位差计算这一具体问题为例，提出问题，引导学生按照建模的 方法界定要分析的系统，进一步确定需要考虑的广度性质分析的系统及所遵循的守恒定理， 确定要分析的过程，思考、写成遵循守恒定律的数学公式。 由理论-方法-实践-方法，不断加深学生对方法的理解和掌握。 四、教学方式 充分利用多媒体教学手段，采用以问题为导向、通过分组讨论，师生互动围绕教学内容 开展教学活动。 五、 教学特色与创新 从理论分析到方法的介绍入手，然后结合实例，提出问题，按照步骤一步步引导学生如何按 照流程建立数学模型，形成从理论到方法，通过实践再回到方法的螺旋式上升的认知途径

六、教学过程设计教学内容及学时分配第一节生物医学工程与数值分析（10分钟);主要介绍生物医学工程的定义、特点，建模和数值方法在生物医学工程中的作用。提出问题，学生结合自身知识背景列举建模在生物医学工程领域的应用小结建模和和数值方法对于医学仪器研发的重要意义。第二节创建工程模型（20分钟)；2.1介绍创建工程模型的基本步骤：1）确定需要分析的系统；）确定需要考虑的广度性质分析的系统；3）确定要分析的时间段：4）写出守恒定律的数学公式2.2介绍建立守恒定律的数学公式：a）累计形式：b）速率形式，各自的特定，使用范围，优缺点。第三节利用计算机求解生物医学模型的范例（60分钟)；以从守恒定律推导Nernst方程为例介绍如何应用平衡方程进行工程建模1）对细胞膜跨膜离子浓度梯度作用下离子的扩散流动的数学描述Fick定律的推导2）描述在细胞膜跨膜电动势作用下离子的流动欧姆定律的推导3）描述扩散与离子迁移之间的关系的爱因斯坦方程4）Nernst方程的推导其次结合生物医学模型的范例进一步强化工程建模方法的应用1）经颅磁刺激的建模2）心脏电生理建模3）应用数值方法模拟心血管系统对于重力作用的反应第四节课程介绍（10学时）全面介绍课程的知识体系，各章节内容，重难点。七、课外学习要求查阅心血管系统对于重力作用的反应数据建模的相关资料。推荐该专题相关模型的软件代码网上资源。八、思政元素讲述老一辈科学家于敏带着研究小组攻坚克难，在艰苦的条件下通过数值计算仿真，为加快我国氢弹发展所做出的巨大贡献，让同学们探讨数值计算的重要意义。主要思政元素包括科学精神、大国工匠精神、奉献精神

六、教学过程设计 教学内容及学时分配 第一节生物医学工程与数值分析（10 分钟）； 主要介绍生物医学工程的定义、特点，建模和数值方法在生物医学工程中的作用。 提出问题，学生结合自身知识背景列举建模在生物医学工程领域的应用 小结建模和和数值方法对于医学仪器研发的重要意义。 第二节 创建工程模型（20 分钟）； 2. 1 介绍创建工程模型的基本步骤：1) 确定需要分析的系统；) 确定需要考虑的 广度性质 分析的系统；3) 确定要分析的时间段；4) 写出守恒定律的数学公式 2.2 介绍建立守恒定律的数学公式: a) 累计形式; b) 速率形式，各自的特定，使用范围，优 缺点。 第三节利用计算机求解生物医学模型的范例（60 分钟）； 以从守恒定律推导 Nernst 方程为例介绍如何应用平衡方程进行工程建模 1）对细胞膜跨膜离子浓度梯度作用下离子的扩散流动的数学描述 Fick 定律的推导 2）描述在细胞膜跨膜电动势作用下离子的流动欧姆定律的推导 3）描述扩散与离子迁移之间的关系的爱因斯坦方程 4）Nernst 方程的推导 其次结合生物医学模型的范例进一步强化工程建模方法的应用 1）经颅磁刺激的建模 2）心脏电生理建模 3）应用数值方法模拟心血管系统对于重力作用的反应 第四节 课程介绍（10 学时） 全面介绍课程的知识体系，各章节内容，重难点。 七、课外学习要求 查阅心血管系统对于重力作用的反应数据建模的相关资料。推荐该专题相关模型的软件代码 网上资源。 八、思政元素 讲述老一辈科学家于敏带着研究小组攻坚克难，在艰苦的条件下通过数值计算仿真，为加快 我国氢弹发展所做出的巨大贡献﹐让同学们探讨数值计算的重要意义。主要思政元素包括科 学精神、大国工匠精神、奉献精神

第二章数值分析的概念（2学时）一、学情分析教学内容分析：本章主要讲解科学计算与数值分析的概念、数值算法及其误差、截断误差与舍入误差定义、浮点数表达和舍入误差的累积和误差消除教学对象分析：学生对于数值计算中的截断误差与舍入误差比较表面，有想当然的成分，需要结合实际例子让他们理解数值计算结果是这两种误差综合作用的结果。二、教学目标设计1）知识目标掌握：a）截断误差与舍入误差的定义及产生的原因b）算法的数值稳定性c）舍入误差的累积和消除误差的常用方法了解：a）数值分析的定义、特点、研究内容和设计原则b）数值计算中的误差来源；C）浮点数表达、IEEE754标准和浮点数的算术运算。三、教学重难点重点：截断误差与舍入误差的定义及产生的原因难点：算法的数值稳定性重难点处理：采用两种不同的方法对同一个积分问题求解，通过具体求解过程和结果对比让学生对算法的数值稳定有更具体的认识，以大家耳熟能详的蝴蝶效应帮助学生理解病态问题和良态问题。将抽象的数学推导具体化，将理论推导和感性认识结合帮助学生对概念的理解和掌握。四、教学方式充分利用多媒体教学手段，采用具体问题不同求解方法的对比法、类比法讲解，辅以师生互动交流，围绕教学内容开展教学活动。五、教学特色与创新应用具体问题不同求解方法的对比，和大家熟知实例的类比，将抽象的概念和数学推导具体化，引导学生不断深入了解数值分析及其误差的产生。六、教学过程设计教学内容及学时分配第一节科学计算与数值分析（20分钟）介绍科学计算的过程和应用，引导学生正确认识科学计算的目的，介绍数值分析的基本概念、研究对象、特点、研究内容和设计原则举例对比不同求解方法的结果让学生认识什么是算法的数值稳定性。应用类比，和具体的数学问题说明什么是病态问题。第二节数值算法及其误差（10分钟）举例说明科学计算的误差来源有：数学模型本身的误差、输入数据的测量误差、求连续函数

第二章 数值分析的概念（2 学时） 一、学情分析 教学内容分析： 本章主要讲解科学计算与数值分析的概念、数值算法及其误差、截断误差与舍入误差定义、 浮点数表达和舍入误差的累积和误差消除 教学对象分析：学生对于数值计算中的截断误差与舍入误差比较表面，有想当然的成分，需 要结合实际例子让他们理解数值计算结果是这两种误差综合作用的结果。 二、教学目标设计 1）知识目标 掌握：a) 截断误差与舍入误差的定义及产生的原因； b) 算法的数值稳定性 c) 舍入误差的累积和消除误差的常用方法 了解：a) 数值分析的定义、特点、研究内容和设计原则 b) 数值计算中的误差来源； c) 浮点数表达、IEEE 754 标准和浮点数的算术运算。 三、教学重难点 重点：截断误差与舍入误差的定义及产生的原因 难点：算法的数值稳定性 重难点处理：采用两种不同的方法对同一个积分问题求解，通过具体求解过程和结果对比， 让学生对算法的数值稳定有更具体的认识，以大家耳熟能详的蝴蝶效应帮助学生理解病态问 题和良态问题。将抽象的数学推导具体化，将理论推导和感性认识结合帮助学生对概念的理 解和掌握。 四、教学方式 充分利用多媒体教学手段，采用具体问题不同求解方法的对比法、类比法讲解，辅以师 生互动交流，围绕教学内容开展教学活动。 五、教学特色与创新 应用具体问题不同求解方法的对比，和大家熟知实例的类比，将抽象的概念和数学推导具体 化，引导学生不断深入了解数值分析及其误差的产生。 六、教学过程设计 教学内容及学时分配 第一节 科学计算与数值分析（20 分钟） 介绍科学计算的过程和应用，引导学生正确认识科学计算的目的； 介绍数值分析的基本概念、研究对象、特点、研究内容和设计原则 举例对比不同求解方法的结果让学生认识什么是算法的数值稳定性。 应用类比，和具体的数学问题说明什么是病态问题。 第二节 数值算法及其误差（10 分钟） 举例说明科学计算的误差来源有：数学模型本身的误差、输入数据的测量误差、求连续函数

近似解引起的误差和各种计算中的舍入误差等，重点介绍截断和舍入误差第三节截断误差与舍入误差（30分钟）回顾泰勒级数公式；强调泰勒级数和泰勒公式是连续函数近似解数值算法的开发工具。列举应用泰勒级数求导数的实例，要求学生自行编程求解。进而提出修改步长，计算在步长不断缩小的条件下，计算的结果，由学生自行归纳数值计算结果是截断误差与舍入误差共同作用的结果。绝对误差由截断误差和舍入误差两部分组成。当截断误差较小时，舍入误差较大；反之，当截断误差较大时，舍入误差就较小。这是数值方法中最重要的折中。第四节浮点数表达(20分钟）浮点数是计算机表示的实数，它本身就存在误差，要么由截断引起，要么由舍入引起。MATLAB的浮点数表示法遵循IEEE754标准。介绍IEEE754标准的浮点格式。介绍浮点数的算术运算、截断和舍入2.5舍入误差的累积和误差消除（10分钟）实例说明数值计算过程中误差累积的规则；归纳转化计算公式消去误差的一般方法。七、课外学习要求完成第三章课后习题3.1-3.6。八、思政元素从数值算法稳定性的举例说明误差累计对结果的影响，延展到科学严谨的工作态度对我们工作、生活、事业，社会建设的重要性，失之毫厘以千里，应用对的方法，保证方向的正确性，减小每一步的误差，消除和减小误差积累

近似解引起的误差和各种计算中的舍入误差等，重点介绍截断和舍入误差 第三节 截断误差与舍入误差 （30 分钟） 回顾泰勒级数公式；强调泰勒级数和泰勒公式是连续函数近似解数值算法的开发工具。 列举应用泰勒级数求导数的实例，要求学生自行编程求解。 进而提出修改步长，计算在步长不断缩小的条件下，计算的结果，由学生自行归纳数值计算 结果是截断误差与舍入误差共同作用的结果。绝对误差由截断误差和舍入误差两部分组成。 当截断误差较小时，舍入误差较大；反之，当截断误差较大时，舍入误差就较小。这是数值 方法中最重要的折中。 第四节 浮点数表达 （20 分钟） 浮点数是计算机表示的实数，它本身就存在误差，要么由截断引起，要么由舍入引起。 MATLAB 的浮点数表示法遵循 IEEE754 标准。介绍 IEEE754 标准的浮点格式。介绍浮点数的 算术运算、截断和舍入 2.5 舍入误差的累积和误差消除 （10 分钟） 实例说明数值计算过程中误差累积的规则； 归纳转化计算公式消去误差的一般方法。 七、课外学习要求 完成第三章课后习题 3.1- 3.6。 八、思政元素 从数值算法稳定性的举例说明误差累计对结果的影响，延展到科学严谨的工作态度对我们工 作、生活、事业，社会建设的重要性，失之毫厘谬以千里，应用对的方法，保证方向的正确 性，减小每一步的误差，消除和减小误差积累

(2学时)第五章生物医学系统中的非线性模型一、学情分析教学内容分析：本章主要讲解识别生物医学工程模型中的非线性方程；了解非线性方程求根的不同方法（如逐次代换法、试位法、牛顿-拉弗森法等）；学习非线性方程组求解的牛顿法；掌握MATLAB实现非线性方程求解；了解非线性方程求根方法的收敛性。教学对象分析：学生在学习了线性代数方程组的迭代法求解后，比较好理解非线性代数方程的求解方法，重要是了解不同迭代法的适用条件，选择合适的方法，同时引导学生充分认识非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。二、教学目标设计1）知识目标掌握：a）逐次代换法的基本思想和步骤b）线性插值法的基本思想和步骤C)N-R法的基本思想和步骤d）应用MATLAB程序求解非线性方程的方法e）非线性方程组求解的牛顿法了解：a）生物医学中的非线性代数方程问题b）如何建立数值方法求解的解题公式c）非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。三、教学重难点重点：非线性方程求解的逐次代换法、试位法、牛顿-拉弗森法及非线性方程组求解的牛顿法等方法，难点：非线性方程组求解的牛顿法重难点处理：方法介绍，原理掌握后，学生编程实现算法，通过具体的实例的求解，反复加深对求解方法的理解，了解不同方法的特点，使用限制。四、教学方式充分利用多媒体教学手段，采用讲授和上机实操相结合的方法，结合具体问题的求解，帮助学生完成从解析解的求解到数值解求解的实现，辅以师生互动交流，围绕教学内容开展教学活动。五、教学特色与创新以学生熟知的线性方程组解析解求解的步骤入手，采用变量标识不同步骤和重要标志参量引导学生用算法思维归纳提炼算法步骤中的计算通式，实现以算法设计思维看待线性方程组求解过程的转变。六、教学过程设计教学内容及学时分配上次课回顾（5分钟）：

第五章 生物医学系统中的非线性模型 （2 学时） 一、学情分析 教学内容分析： 本章主要讲解识别生物医学工程模型中的非线性方程；了解非线性方程求根的不同方法(如 逐次代换法、试位法、牛顿-拉弗森法等）；学习非线性方程组求解的牛顿法；掌握 MATLAB 实现非线性方程求解；了解非线性方程求根方法的收敛性。 教学对象分析：学生在学习了线性代数方程组的迭代法求解后，比较好理解非线性代数方程 的求解方法，重要是了解不同迭代法的适用条件，选择合适的方法，同时引导学生充分认识 非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。 二、教学目标设计 1）知识目标 掌握：a) 逐次代换法的基本思想和步骤； b) 线性插值法的基本思想和步骤 c) N-R 法的基本思想和步骤 d) 应用 MATLAB 程序求解非线性方程的方法 e) 非线性方程组求解的牛顿法 了解：a) 生物医学中的非线性代数方程问题 b) 如何建立数值方法求解的解题公式 c) 非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。 三、教学重难点 重点：非线性方程求解的逐次代换法、试位法、牛顿-拉弗森法及非线性方程组求解的牛顿 法等方法； 难点：非线性方程组求解的牛顿法 重难点处理：方法介绍，原理掌握后，学生编程实现算法，通过具体的实例的求解，反复加 深对求解方法的理解，了解不同方法的特点，使用限制。 四、教学方式 充分利用多媒体教学手段，采用讲授和上机实操相结合的方法，结合具体问题的求解， 帮助学生完成从解析解的求解到数值解求解的实现，辅以师生互动交流，围绕教学内容开展 教学活动。 五、 教学特色与创新 以学生熟知的线性方程组解析解求解的步骤入手，采用变量标识不同步骤和重要标志参量， 引导学生用算法思维归纳提炼算法步骤中的计算通式，实现以算法设计思维看待线性方程组 求解过程的转变。 六、教学过程设计 教学内容及学时分配 上次课回顾（5 分钟）：

1.高斯消元法：functionx=Gauss(A,c)2.高斯-若而当消元法：functionx=Jordan(A,c)系数矩阵化为单位矩阵；3.雅可比选代法：functionx=GSeidel(A.b,x0.tol)第一节绪论（5分钟）数值方法对非线性代数方程求解的重要性。本章内容介绍。第二节非线性方程一般形式（5分钟给出非线性代数方程组的定义，列举常见的非线性方程。非线性方程根的个数。第三节非线性生物医学系统举例（10分钟）建立系统数学模型。(1）分子生物工程描述酶促反应动力学过程的Michaelis-Menten模型方程：积分法求得底物浓度随时间变化的非线性解。用数值法求解在某种给定酶的作用下，某时刻的底物浓度S。(2）细胞和组织工程组织工程疗法中的创伤修复、组织再生以及植入支架的再生诱导都必须有细胞迁移。例举定量描述细胞的群体迁移的Dunn方程（3）生物热传导-光热疗法激光照射过程中，不同时间和不同空间深度下组织表面温度的变化情况由非线性方程数学模型描述。（4）生物医学中的流体传输动力学可用摩擦系数b确定液体流过管道时的速度变化。b由Colebrook方程给出。B可用非线性方程Colebrook方程给出。分别给出不同系统的数学模型表达，判断是否为非线性？是否可以有解析解？可能采用什么方法求解？提出问题，让学生思考。第四节非线性代数方程组迭代法（40分钟)(1）逐次代换法单点迭代搜索根：先变换方程f(x)=0,使方程的左边有一个x。x=g(x)选代公式：Xn+1=g(x)收效条件：对于搜索区间上所有×的值，必须满足13(x)<1(2）讲解试位法寻根的方法是选取根两边的点，在函数中这两点间进行线性插值。优点：无需求函数的导数；计算简单，是求解非线性方程最方便的方法之一。缺点：搜索根时，收敛的准确度和速度受到初始值的限制，初始值成为所有后续代换的关键点。（3）讲解牛顿-拉弗森法

1. 高斯消元法： function x=Gauss(A,c); 2. 高斯-若而当消元法： function x=Jordan(A,c); 系数矩阵化为单位矩阵； 3. 雅可比迭代法：function x=GSeidel(A,b,x0,tol) 第一节 绪论（5 分钟） 数值方法对非线性代数方程求解的重要性。本章内容介绍。 第二节 非线性方程一般形式（5 分钟） 给出非线性代数方程组的定义，列举常见的非线性方程。 非线性方程根的个数。 第三节 非线性生物医学系统举例（10 分钟） 建立系统数学模型。 （1） 分子生物工程 描述酶促反应动力学过程的 Michaelis-Menten 模型方程：积分法求得底物浓度随时间 变化的非线性解。用数值法求解在某种给定酶的作用下，某时刻的底物浓度 s。 （2）细胞和组织工程 组织工程疗法中的创伤修复、组织再生以及植入支架的再生诱导都必须 有细胞迁移。例举定量描述细胞的群体迁移的 Dunn 方程 （3）生物热传导-光热疗法 激光照射过程中，不同时间和不同空间深度下组织表面温度的变化情 况由非线性方程数学模型描述。 （4）生物医学中的流体传输动力学 可用摩擦系数 b 确定液体流过管道时的速度变化。b 由 Colebrook 方程给出。B 可用非线性 方程 Colebrook 方程给出。 分别给出不同系统的数学模型表达，判断是否为非线性？是否可以有解析解？可能采用什么 方法求解？提出问题，让学生思考。 第四节 非线性代数方程组迭代法（40 分钟） （1） 逐次代换法 单点迭代搜索根：先变换方程 f(x)=0,使方程的左边有一个 x。 x=g(x) 迭代公式：xn+1=g(xn) 收敛条件：对于搜索区间上所有 x 的值，必须满足 g x'( ) 1 < （2）讲解试位法 寻根的方法是选取根两边的点，在函数中这两点间进行线性插值。 优点：无需求函数的导数；计算简单，是求解非线性方程最方便的方法之一。 缺点：搜索根时，收敛的准确度和速度受到初始值的限制，初始值成为所有后续代换的 关键点。 （3）讲解牛顿-拉弗森法

(x)=x()非线性方程在任一点的泰勒级数展开式，简化保留思考牛顿-拉弗森法收敛的条件问题：分别编写程序完成三种不同的送代方法，并用这些方法求解心血管生理系统问题和Colebrook方程，比较结果，分析不同迭代方法的优劣。非线性方程三种送代方法小结N-R最常用，其搜索过程对于根的初始估计值的选定敏感，逐次代换法确定根的选代步数最少，，计算简单，不需要计算函数的导数线性插值法需要给定两个初始估计值，用于设定搜索范围的起点和终点，所需的迭代次数最多。第五节牛顿法求解非线性方程组(20分钟)模型中包含两个或更多个联立非线性方程，可扩展N-R法设存在两个未知变量x1和x2以及包含这两个变量的两个函数，利用二维泰勒级数，在初始估计值x和x2"处展开这两个函数。前后两次选代得到的×值之间的差定义为校正变量反复执行这个送代过程，直到所有的校正变量都小于某个规定的充许偏差为正：对于含有2个以上方程的非线性方程组，可用同样方法得到一个线性代数方程组，以矩阵形式表示J8=-f引导学生应用牛顿法计算受体与配体结合的动力学过程中受体的结合率。第六节MATLAB求解非线性方程（15分钟）1.符号法介绍求方程解析解或精确解的符号命令solvez1,z2.zn|=solve(s1,s2,.sn,v1v2...vn"要求学生查阅函数的调用说明，并求解三个不同的方程或方程组。2.函数实现多项式求根：root(p)求函数f(x)零点的函数：fzero方程组数值解的函数fsolve(fun,x0,option）要求学生查阅以上函数的使用说明，并求解课堂例题，切实掌握函数使用。七、课外学习要求完成第四章课后习题5.2-5.6。八、思政元素通过对误差带来的严重影响典型事例介绍，让学生们认识到人生道理上一定要有目标而更要以正确有效的方式去追随自标才有可能成果，不能盲自。如果不遵守规则，则可能使得寻找的范围越来越偏离目标

非线性方程在任一点的泰勒级数展开式，简化保留 思考牛顿-拉弗森法收敛的条件 问题：分别编写程序完成三种不同的迭代方法，并用这些方法求解心血管生理系统问题和 Colebrook 方程，比较结果，分析不同迭代方法的优劣。 非线性方程三种迭代方法小结： N-R 最常用，其搜索过程对于根的初始估计值的选定敏感； 逐次代换法确定根的迭代步数最少，计算简单，不需要计算函数的导数 线性插值法需要给定两个初始估计值，用于设定搜索范围的起点和终点，所需的迭代次 数最多。 第五节 牛顿法求解非线性方程组（20 分钟） 模型中包含两个或更多个联立非线性方程，可扩展 N-R 法 设存在两个未知变量 x1 和 x2 以及包含这两个变量的两个函数，利用二维泰勒级数, 在初 始估计值 x 1 (1) 和 x 2 (1)处展开这两个函数. 前后两次迭代得到的 x 值之间的差定义为校正变量. 反复执行这个迭代过程,直到所有的校正变量都小于某个规定的允许偏差为止. 对于含有２ 个以上方程的非线性方程组，可用同样方法得到一个线性代数方程组，以矩阵形式表示. 引导学生应用牛顿法计算受体与配体结合的动力学过程中受体的结合率。 第六节 MATLAB 求解非线性方程 （15 分钟） 1.符号法 介绍求方程解析解或精确解的符号命令 solve [z1,z2,.zn]=solve(s1, s2, .,sn,’v1’,’v2’,.’vn’) 要求学生查阅函数的调用说明，并求解三个不同的方程或方程组。 2. 函数实现 多项式求根：root(p) 求函数 f(x)零点的函数： fzero 方程组数值解的函数 fsolve(‘fun’,x0,option) 要求学生查阅以上函数的使用说明，并求解课堂例题，切实掌握函数使用。 七、课外学习要求 完成第四章课后习题 5.2- 5.6。 八、思政元素 通过对误差带来的严重影响典型事例介绍，让学生们认识到人生道理上一定要有目标， 而更要以正确有效的方式去追随目标才有可能成果，不能盲目。如果不遵守规则，则可能使 得寻找的范围越来越偏离目标

第七章动态系统：常微分方程（5学时）一、学情分析教学内容分析：1）利用常微分方程建立生理系统动态模型2）求解微分方程的数值解，作图表示数值解的结果，并解释生物系统在各种不同条件下的动态行为。3）评价模型及其数值的准确度和稳定性。教学对象分析：学生在学习了线性代数方程组的迭代法求解后，比较好理解非线性代数方程的求解方法，重要是了解不同迭代法的适用条件，选择合适的方法，同时引导学生充分认识非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。二、教学目标设计1）知识目标掌握：a）常微分方程标准型的转化；b）线性常微分方程组求解方法C）非线性常微分方程求解方法d）常微分方程解的MATLAB实现了解：a）利用常微分方程建立生理系统动态模型b）常微分方程的分类c）常微分方程的稳态解及其稳定性分析d）常微分方程求解的数值稳定性和误差传播三、教学重难点重点：线性常微分方程组求解方法和非线性常微分方程求解方法难点：非线性和线性微分方程组可以用有限差分法求数值积分。重难点处理：以具体的示例，形象地演示微分方程的数值积分沿曲线的斜率方向，选取多个小步长累计；通过一步一步地积分，使学生理解采用有限差分求解方程解的过程。在此基础上，归纳常微分方程求解的公式，讨论采用不同有限差分公式的误差阶数，进而对求解方法进行改进。四、教学方式充分利用多媒体教学手段，采用讲授和上机实操相结合的方法。常微分方程求解相对较难，本章包含较多的例题和课堂习题，通过采用不同方法对实际问题的解决，加深学生对方法的掌握和运用，不断提高教学效果。五、教学特色与创新本章的内容难度相对较大，在讲述到微分方程求解前专门讲述了数学家欧拉在双目失明的情况下，仍然坚持所热爱的数学研究，为数值方法的发展做了很多的贡献，以此鼓励学生不畏难。教学中以逐步绘制函数曲线的近似解形象描述有限差分得到的结果，以及其和真实解之间的差值。在此基础上归纳计算公式，并对误差进行分析。在此基础上，通过例题和习题加深对该方法的应用。六、教学过程设计

第七章 动态系统：常微分方程 （5 学时） 一、学情分析 教学内容分析： 1）利用常微分方程建立生理系统动态模型 2）求解微分方程的数值解，作图表示数值解的 结果，并解释生物系统在各种不同条件下的动态行为。3）评价模型及其数值的准确度和稳 定性。 教学对象分析：学生在学习了线性代数方程组的迭代法求解后，比较好理解非线性代数方程 的求解方法，重要是了解不同迭代法的适用条件，选择合适的方法，同时引导学生充分认识 非线性代数方程求解过程中估计值正确收敛的重要性。 二、教学目标设计 1）知识目标 掌握：a) 常微分方程标准型的转化； b) 线性常微分方程组求解方法 c) 非线性常微分方程求解方法 d) 常微分方程解的 MATLAB 实现 了解：a) 利用常微分方程建立生理系统动态模型 b) 常微分方程的分类 c) 常微分方程的稳态解及其稳定性分析 d) 常微分方程求解的数值稳定性和误差传播 三、教学重难点 重点：线性常微分方程组求解方法和非线性常微分方程求解方法 难点：非线性和线性微分方程组可以用有限差分法求数值积分。 重难点处理：以具体的示例，形象地演示微分方程的数值积分沿曲线的斜率方向，选取多个 小步长累计；通过一步一步地积分，使学生理解采用有限差分求解方程解的过程。在此基础 上，归纳常微分方程求解的公式，讨论采用不同有限差分公式的误差阶数，进而对求解方法 进行改进。 四、教学方式 充分利用多媒体教学手段，采用讲授和上机实操相结合的方法。常微分方程求解相对较 难，本章包含较多的例题和课堂习题，通过采用不同方法对实际问题的解决，加深学生对方 法的掌握和运用，不断提高教学效果。 五、 教学特色与创新 本章的内容难度相对较大，在讲述到微分方程求解前专门讲述了数学家欧拉在双目失明的情 况下，仍然坚持所热爱的数学研究，为数值方法的发展做了很多的贡献，以此鼓励学生不畏 难。教学中以逐步绘制函数曲线的近似解形象描述有限差分得到的结果，以及其和真实解之 间的差值。在此基础上归纳计算公式，并对误差进行分析。在此基础上，通过例题和习题加 深对该方法的应用。 六、教学过程设计

教学内容及学时分配上次课回顾（5分钟）：1.有限差分的概念2.符号算子：微分算子，向后差分算子，向前差分算子，中心差分算子3.插值的一般方法（1）等距节点插值法：格雷戈里-牛顿插值法。2）非等距节点插值a）拉格朗日多项式：b）样条插值4.数据曲线的拟合：数据的最小二乘拟合；函数的最佳平方逼近5.数值积分牛顿-科茨求积公式：梯形公式；辛普森1/3公式；辛普森3/8公式；牛顿-科茨求积公式第一节绪论（30分钟）常微分方程的定义：常微分方程用于描述具有单个自变量的生理系统的动态模型。自变量类型。可用常微分方程描述的生物医学模型介绍。本章学习的内容。常微分方程建模举例（1）药物代谢动力学-药物吸收动力学药物代谢动力学研究药物分布过程以及体内药物浓度的变化速率。将所有的体液作为一个房室单元看待描述药物吸收和清除过程的数学模型是一组线性常微分方程。（2）组织工程-细胞分化和细胞迁移动力学细胞分化：不同的胚胎细胞或祖细胞特异化为体内具有不同功能的组织的动态过程。干细胞转化为完全成熟的特异细胞的这一系列过程可用多房室模型来模拟，根据各个房室的非稳态平衡原理，可建立模型的常微分方程组。细胞迁移指细胞在接收到迁移信号或感受到某些物质的梯度后而产生的移动Tjia和Moghe细胞迁移模型：以动力学原理为基础，利用与常规Michaelis-Menten动力学方程相似的扩散反应方程，建立了描述细胞与配体之间相互作用以及胞吞耦合的动力学模型。（3）代谢工程-活细胞的糖酵解途径糖酵解：葡萄糖分解产生二氧化碳和水的复杂过程酶促反应的动态过程可用常微分方程组来模拟。（4）分子的跨膜运输分子的传输机制可用常微分方程和偏微分方程描述。可用常微分方程描述具有单个自变量的动态传输系统。Hodgkin-Huxley模型描述细胞膜和神经细胞动作电位的动力学过程。讲解这些系统中特定过程的变化关系，通过课堂讨论，师生交流一起建立不同系统常微分方程（组）数学模型。第二节常微分方程的分类(10分钟)给出n阶线性常微分方程的一般形式，在此基础上给出齐次方程；非齐次方程；阶数，非线性微分方程的定义。介绍初值问题和边值问题的定义第三节标准型的转化（25分钟）定义：n个一阶常微分方程组成的联立方程组称为方程的标准型。高阶微分方程或者含有混合阶数的微分方程可以通过一系列代换，转化为标准型

教学内容及学时分配 上次课回顾（5 分钟）： 1. 有限差分的概念 2. 符号算子：微分算子，向后差分算子，向前差分算子，中心差分算子 3. 插值的一般方法 （1）等距节点插值法：格雷戈里-牛顿插值法。 （2）非等距节点插值 a) 拉格朗日多项式；b) 样条插值 4. 数据曲线的拟合： 数据的最小二乘拟合；函数的最佳平方逼近 5. 数值积分 牛顿-科茨求积公式：梯形公式；辛普森 1/3 公式；辛普森 3/8 公式；牛顿-科茨求积公 式 第一节 绪论（30 分钟） 常微分方程的定义：常微分方程用于描述具有单个自变量的生理系统的动态模型。自变量类 型。可用常微分方程描述的生物医学模型介绍。本章学习的内容。 常微分方程建模举例： （1）药物代谢动力学-药物吸收动力学 药物代谢动力学研究药物分布过程以及体内药物浓度的变化速率。 将所有的体液作为一个房室单元看待描述药物吸收和清除过程的数学模型是一组线性 常微分方程。 （2）组织工程-细胞分化和细胞迁移动力学 细胞分化：不同的胚胎细胞或祖细胞特异化为体内具有不同功能的组织的动态过程。 干细胞转化为完全成熟的特异细胞的这一系列过程可用多房室模型来模拟，根据各个 房室的非稳态平衡原理，可建立模型的常微分方程组。 细胞迁移指细胞在接收到迁移信号或感受到某些物质的梯度后而产生的移动 Tjia 和 Moghe 细胞迁移模型: 以动力学原理为基础,利用与常规 Michaelis-Menten 动力学方 程相似的扩散反应方程，建立了描述细胞与配体之间相互作用以及胞吞耦合的动力学模型。 （3）代谢工程-活细胞的糖酵解途径 糖酵解：葡萄糖分解产生二氧化碳和水的复杂过程 酶促反应的动态过程可用常微分方程组来模拟。 （4）分子的跨膜运输 分子的传输机制可用常微分方程和偏微分方程描述。可用常微分方程描述具有单个自 变量的动态传输系统。Hodgkin-Huxley 模型描述细胞膜和神经细胞动作电位的动力学过程。 讲解这些系统中特定过程的变化关系，通过课堂讨论，师生交流一起建立不同系统常 微分方程（组）数学模型。 第二节 常微分方程的分类 （10 分钟） 给出 n 阶线性常微分方程的一般形式，在此基础上给出齐次方程；非齐次方程；阶数；非线 性微分方程的定义。 介绍初值问题和边值问题的定义 第三节 标准型的转化 （25 分钟） 定义：n 个一阶常微分方程组成的联立方程组称为方程的标准型。 高阶微分方程或者含有混合阶数的微分方程可以通过一系列代换，转化为标准型

举例说明如何将n阶微分方程化为标准型。引入新变量，将因变量不同阶数定义为新变量。学生完成课堂习题练习常微分方程标准型的转化方法。第四节线性常微分方程组(50分钟)（1）应用特征值和特征矢量的求解方法常系数线性常微分方程组具有特定形式的解，可由矩阵A的特征值和特征失量求得。由单个线性微分方程推导出矩阵方程的解：y=e"y.将矩阵指数函数展开，证明解的正确性。推导使用矩阵A的特征值和特征失量来表示解。用特征值和特征失量表示的线性微分方程组的解为：y-Xe"x"y使用条件：矩阵X必须是非奇异的,其逆矩阵存在。唯此，矩阵A才存在n个线性独立的特征矢量。（2）求解线性微分方程组的MATLAB函数expm1(A)：用Pade逼近算法求A的矩阵指数；expm2(A)：用泰勒级数求A的矩阵指数。expm3(A)：通过特征值和特征矢量求A的矩阵指数。eig(A)：求矩阵A的特征矢量和特征值。例题：体内药物吸收的简单模型。设所有体液作为一个单位。分别建立描述这3个过程的非稳态物质平衡的线性常微分方程。求解不同方程的解，并计算体内药物浓度达到最大值时的时间以及体内药物达到的最大浓度。鼓励学生用不同方法求解该问题，并比较方法的性能和结果。第五节非线性常微分方程组：（50分钟）介绍数学家欧拉生平事迹，他对数学的热爱，严谨的科学态度。（1）欧拉法和改进欧拉法欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。推导演示Euler法的求解过程。结合多个例题练习采用欧拉法求初值问题。小结欧拉的缺点：具有二阶截断误差，如果h较大，y的轨迹很快就会偏离其真实值。欧拉的改进：向前泰勒级数和向后泰勒级数相结合得到隐式欧拉公式。用显式欧拉法预测一个yi+1的值再带入隐式欧拉公式，得到一个校正值。克拉克-尼科尔森法：采用了步长h两个端点上y函数斜率的平均值（即两个斜率的权重相等，均为1/2)。(2）龙格-库塔法最常用的常微分方程求积分的方法。推导二阶龙格一库塔法（3）微分方程组推导采用四阶龙格一库塔法求解微分方程组的解第六节常微分方程解的MATLAB实现（40分钟）

举例说明如何将 n 阶微分方程化为标准型。引入新变量，将因变量不同阶数定义为新变量。 学生完成课堂习题练习常微分方程标准型的转化方法。 第四节 线性常微分方程组 （50 分钟） （1）应用特征值和特征矢量的求解方法 常系数线性常微分方程组具有特定形式的解，可由矩阵Ａ的特征值和特征矢量求得。 由单个线性微分方程推导出矩阵方程的解： 将矩阵指数函数展开，证明解的正确性。 推导使用矩阵 A 的特征值和特征矢量来表示解。 用特征值和特征矢量表示的线性微分方程组的解为： 使用条件: 矩阵 X 必须是非奇异的,其逆矩阵存在。唯此，矩阵 A 才存在 n 个线性独立的特 征矢量。 （2）求解线性微分方程组的 MATLAB 函数 expm1 (A): 用 Pade 逼近算法求 A 的矩阵指数； expm2(A): 用泰勒级数求 A 的矩阵指数。 expm3(A): 通过特征值和特征矢量求 A 的矩阵指数。 eig(A): 求矩阵 A 的特征矢量和特征值。 例题：体内药物吸收的简单模型。设所有体液作为一个单位。分别建立描述这 3 个过程的非 稳态物质平衡的线性常微分方程。求解不同方程的解，并计算体内药物浓度达到最大值时的 时间以及体内药物达到的最大浓度。 鼓励学生用不同方法求解该问题，并比较方法的性能和结果。 第五节 非线性常微分方程组 （50 分钟） 介绍数学家欧拉生平事迹，他对数学的热爱，严谨的科学态度。 （1）欧拉法和改进欧拉法 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。 推导演示 Euler 法的求解过程。 结合多个例题练习采用欧拉法求初值问题。 小结欧拉的缺点：具有二阶截断误差，如果 h 较大，y 的轨迹很快就会偏离其真实值。 欧拉的改进：向前泰勒级数和向后泰勒级数相结合得到隐式欧拉公式。 用显式欧拉法预测一个 yi+1 的值再带入隐式欧拉公式，得到一个校正值。 克拉克-尼科尔森法：采用了步长 h 两个端点上 y 函数斜率的平均值（即两个斜率的权重 相等，均为 1/2)。 （2）龙格-库塔法 最常用的常微分方程求积分的方法。推导二阶龙格－库塔法 （3）微分方程组 推导采用四阶龙格－库塔法求解微分方程组的解 第六节 常微分方程解的 MATLAB 实现（40 分钟）