河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第零章第一节 矢量代数与张量初步

第零章第一节 买量代数与张量初步 河北师范大学重点建设课程

第零章第一节 河北师范大学重点建设课程 矢量代数与张量初步

§1矢量代数与张量初步 ■矢量定义=AA2A=A,A 直角坐标系中A=Ai+Aj+Ak A=∑4A=团=(4++4)=∑4 ■矢量的基本运算 AB=2AB =AB cose Ax B=ABsin e, A A2A, BBB

§1 矢量代数与张量初步 A A A AA A A A    = = = ˆ , , ˆ 直角坐标系中 A A i A j A k = + + z y z 3 1 i i i A A e = =  3 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 ( ) i i A A A A A A = = = + + =  矢量定义 矢量的基本运算 3 1 cos i i i A B A B AB  =  = =  1 2 3 1 2 3 1 2 3 sin n e e e A B AB e A A A B B B  = = 

■矢量代数中的两个重要公式 混合积a(b×d)=b(cxa)=c(axb) 双重矢量积a×(b×C)=(a·c)b-(ab)C 矢量微分 dA A dAdA A一+4 t dt dt 注意顺序 d (A. B db dA A B 不能颠倒 dt d(A×B db dA 4x“+×B dt dt dt

矢量代数中的两个重要公式 a (b c) b (c a) c (a b)          混合积   =   =   矢量微分 ˆ ˆ dA dA dA A A dt dt dt = + d A B dB dA ( ) A B dt dt dt  =  +  d A B dB dA ( ) A B dt dt dt  =  +  双重矢量积 a b c a c b a b c         (  ) = (  ) −(  ) 注意顺序 不能颠倒

■并矢与张量AB 般AB≠BA) T=AB=A,B i,j=1 ee为单位并矢,张量的基(9个分量) ■矢量与张量的矩阵表示 ∑4,A=4A=(4,A2,4 B AB=(4,4,43)B21=4B+42+43B3=∑4B B

并矢与张量 AB （一般 AB BA  ） i j e e 为单位并矢，张量的基（9个分量） 矢量与张量的矩阵表示 1 2 3 , i i A A Ae A A A     = =        1 2 3 A A A A = ( , , ) i i A B A B A B Ai B B B B A B A A A  = = + + =            = 3 1 1 1 2 2 3 3 3 2 1 1 2 3 ( , , )   j i j i j i i j i j i j T AB A B e e T e e          = = = = = 3 , 1 3 , 1

T=AB C=∑ 12 100 7=|72172723 2133 张量的运算7+7=∑(7+V) ABC=A(BC=A(. B)=ACB B)A=C BA B.CA=B·CA

3 1 i j i e e = =  1 0 0 0 1 0 0 0 1     =       , ( ) i ij ij j i j T V T V e e + = +  ( ) ( ) ( ) ( ) AB C A B C A C B AC B C B A C BA B C A B CA  =  =  =  =  =  =  =  张量的运算 T AB    =           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 T T T T T T T T T T

C AB=(C4 B=B(.A)=B(AC)=BA.c AB×C BxC)并矢 C×AB=(C×A)B并矢 两并矢的一次点乘 AB (CD)=A(B CD=A(B C)AD+CD.AB 两并矢的二次点乘 AB: CD=(BC(AD 单位张量与矢量 C·C=C.C=C 张量的点乘 C·AB=AB.C=AB e: AB=A-B

C AB C A B B C A B A C BA C  =  =  =  =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB C A B C C AB C A B   =      =   并矢 并矢 两并矢的一次点乘 AB CD A B C D A B C AD CD AB  =  =    ( ) ( ) ( ) 两并矢的二次点乘 AB CD B C A D : =   ( )( )  =  = C C C  =  = AB AB AB : AB A B =  单位张量与矢量、 张量的点乘

补充练习题 计算(+B)×(4-B) 2(B 证明M=b(ac)-a(b·c)与矢量C垂直,即MC 计算下列各式 (a×b)a×(b×a)(×1)·k(k×i) 0, a b-a(a b) 证明下列各式 (×b)(c·d)=(a×c)(bd)-(xd)(bc) d×(b×C)+b×(C×a)+C×(xb)=0

补充练习题 a a b   ( ) a b a   ( ) ( ) j i k   ( ) k i j   （ 0， ， －1， 1 ） 2 a b a a b −  ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c d a c b d a d b c   =   −   a b c b c a c a b   +   +   = ( ) ( ) ( ) 0 计算 ( A B A B +  − ) ( ) (=  2(B A)) 证明 M b a c a b c =  −  ( ) ( ) 与矢量 C 垂直,即 M C 计算下列各式 证明下列各式