河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第零章第三节 三度在坐标系中的表示及一些重要公式

Kill DSP Re-entry Vehicle d Decoys 第第三节 Ground-Based Interceptor 三度在坐标系中的表 Communications 示 些重要松式 X-Band Radar Communications GBI Field 向北师范大学重点建设课程 Site BMC3 Cheyenne Mountain Operations Center GMD LAND-BASED SITE

第零章第三节 河北师范大学重点建设课程 三度在坐标系中的表 示及一些重要公式

§3三度在坐标系中的表示及一些重要公式 、矢量微分算子(哈密顿算子) V e.+ o v e V a10 xeorsin0 ao 二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系 柱坐标与直角坐标的关系 球坐标与直角坐标的关系

§3 三度在坐标系中的表示及一些重要公式 一、矢量微分算子（哈密顿算子） x y z e e e x y z     = + +    r z e e e r z       = + +    1 1 sin r e e e r r r          = + +    二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系 柱坐标与直角坐标的关系 球坐标与直角坐标的关系

三、≡度”在坐标系中的县体表示形 四式关于 式 ⅴf(u) d 复合函数的 da 度公式 V·A() Vi dA ■积分变换公式 V×A(u)=Vu 高斯公式AdS=[(v,d=[dv 利用混 积公式 斯托克斯公式AO=(V×Ad=[(sxV)A

三、 “三度”在坐标系中的具体表示形 四、关于“三度”的一些常用公 式 式 复合函数的 三度公式 ( ) df f u u du  =  ( ) dA A u u du  =  ( ) dA A u u du 积分变换公式  =   高斯公式 斯托克斯公式    =  =  S V V A dS A dV dV A     ( )     =   =   L S S A dl A dS dS A       ( ) ( ) 利用混合 积公式

格林公式 第一公式J(0+ Vo. Vy= 第三公式( wio-p-viw)dv=f.wo-oVw)8 积分变换的一般规则 dⅣV<>pdS dS×V<>φal S dwp=d ds dsx=d odl V×A=dS×A (dS×V)×A=9al dvv T=ds. T (ds×V).7=a.7

格林公式 第一公式 第二公式 积分变换的一般规则    +  =   V S dV dS  (   )   2    −  =  −   V S dV dS  ( ) ( ) 2 2          →   V S dV dS   →   S L dS dl      = V S dV dS    dV A dS A V S     =    dV T dS T V S     =       = S L dS dl         =  S L dS A dl A     ( )     =  S L dS T dl T     ( )

般变换规则证明1。 s divx=9:S× 证:任取常矢量C点乘上式两端 左=[aC(V V·(A×C dS·(A×C)=C(aS×A)圆 2.J(×V)×A=9×A 证:任取常矢量点乘上式两端 左-[(△V)×1(△×)(xC =∮(4×C)d=9C1(×)

一般变换规则证明 证： 任取常矢量 C 点乘上式两端 ( ) ( ) V V =   =   dV C A dV A C           左 V S dV A dS A  =    1。 ( ) ( ) S S dS A C C dS A   =     = ( ) S L dS A dl A   =    2。 证： 任取常矢量点乘上式两端 ( ) ( ) ( ) S S =    =    C dS A dS A C       左 ( ) ( ) L L =   =   A C dl C dl A   (A C)    

■矢量微分算符常用公式 v(oy)=(Vp)y+pVy 2。V(q4)=Vq·A+V.A 3。V× A=V ×A+(V×A V (AxB)=(VXA.B-(VxB).A 5. V (AB)=V.AB-(AV)B 6。V×(A×B)=(V.B)4+(Bv)4-(V·AB-(V)B 7。V(AB)=A×(VxB)+(AV)B+B×(V×A)+(B.V) 8。A×(V× VA V 2 9。V×(V×A)=V(V·A)-V2A 10。V×Vq=0,V·(V×

矢量微分算符常用公式  =  +  (     ) ( ) 1。 3。 4。   =   −   ( A B A B B A ) ( ) ( ) 5。  =  −  ( AB A B A B ) ( ) ( ) 6。   =  +  −  −  ( A B B A B A A B A B ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7。   =   +  +   +  ( A B A B A B B A B A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 8。 A A A A A   =  −  ( ) ( ) 2 9。   =   −  A A A  =   =  0, 0 ( A) 10。 2。 A A A    ( ) =   +

■仅证明7式 V(AB)=Ax(VxB+(AV)B+B×(V×A)+(BV)A 证:V(B)=V(42)+V(4,B)<微分运算 a×b× c=(a)b-(a b)c aV→bB 4×(V×8)=V(4,B)-(4V)B 矢量运算 V(4B)=4v×B)+(4.V)E 同理v(AB)=V(B列)=B×(×x)+(BV) 去掉(A·B)=Ax(V×B)+(A.V)B+B×(V×A)+(BV)A 脚标

仅证明7式   =   +  +   +  ( A B A B A B B A B A ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a c b a b c   =  −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C A B A B A B A B A B A B    =   −      =   +   AC a  b B c 证：   =   +   ( A B A B A B ) ( C C ) ( ) 同理   =   =   +  ( A B B A B A B A C C C C ) ( ) ( ) ( )   =   +  +   +  ( A B A B A B B A B A ) ( ) ( ) ( ) ( ) 去掉 脚标 微分运算 矢量运算

§4<函数与点电荷密 度 0x≠a 6(x 维 a+ 8(x-a dx=8(x-a)dx= 维6(x-x)=6(x-x)6(y-y)6(2-0) (r-6)6(-8)6(-=0) (=元M=1=1-004) r sin

§4 函数与点电荷密 度  ( ) ( ) ( ) 0 1 a a x a x a x a x a dx x a dx       + − −     − =     =   − = − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 sin x x x x y y z z r r z z r r r r                  − = − − − = − − − = − − − 一维 三维 ( ) 0 1 V  x x dV − = 

点电荷密度分布(x-x0)=0文丰3 P(x-x0)=∞x=x0 [(=)=9xE口P(-元)=Q(-x元) 电动力学中一个重要的函数形式 6()=6(x-x)= =X-x. r=x-x 证:P士0V 0[=V,(≠0)] 0y1 1 ds 1 dS do=1 4丌 4丌Jsr 4丌JSr34丌

( ) ( ) 2 3 1 1 1 , , 4 4 r r x x r x x r x x r r     = − = −  =  = − = −    电动力学中一个重要的函数形式 r = 0 1 r  =  3 3 3 1 1 1 1 1 4 4 4 4 V S S S r r dS dV dS d     r r r  =  = =  =     证： 2 3 r 1 r r   = − =0 ( ) 3 1 , 0 r r r r r = 0 [ − =   ] / 点电荷密度分布 ( ) 0 0 V  x x dV Q x V − =     ( x x Q x x − = − 0 0 ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 x x x x x x x x         − =  = − =   

作业:P452、4、6

作业：P45 2、4、6