河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 静磁场（3.1）矢势及其微分方程

第三章 静磁场 如 量 盐士盐 相想 河北师范大学重点建设课程

第三章 河北师范大学重点建设课程 静 磁 场

本章重点: 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较 3、了解AB效应和超导体的电磁性质 本章难点:利用磁标势解决具体问题 机动目录上页下页返回

本章重点： 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较 3、了解A-B效应和超导体的电磁性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本章难点：利用磁标势解决具体问题

§1矢势及其微分方程 、稳恒电流磁场的矢势 稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场:传导电流(即运动电荷)产生的不 随时间变化的磁场。 V×H 基本方程 边值关系7x(h2-1)=a V·B=0 n×(B2-B1)=0 本节仅讨论B=团H情况,即非铁磁的均匀介质。这 种情况静电场和磁场可以分离,不发生直接联系。 实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时, 在这个参照系中观测,只有静电场

§1 矢势及其微分方程 一、稳恒电流磁场的矢势 1．稳恒电流磁场的基本方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。       =   = B 0 H J    基本方程      − =  − = ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 n B B n H H         边值关系 本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这 种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 B H   =  实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场

2.矢势的引入及意义 静电场V×E=0一 稳恒电流磁场VxH=-→ VB=0—B=V 物理意义 ds B (a)B与A的关系 B·dS=(V S 其中S为回路L为边界的任一曲面

2．矢势的引入及意义 静电场  = E 0 物理意义： （a） 与 A 的关系  B  稳恒电流磁场  = H J     =   =  S S L B dS A dS A dl       ( ) dS B L 其中S 为回路L 为边界的任一曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束  = B 0 A  B A = 

(b)磁通量只与曲面L的边界有关,与曲面的具体形状无关 乐B8=0=4+B6=0 B (2=28=25)口JBdS=BS (c)物理意义 ∮5a=「BS 沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量,而每点A无直接物理意义。 3、矢势的不唯一性 A'=A+VY VXA'=VXA+V(VY)=VA=B 令VA=0可减少矢势的任意性>W满足的方程?

沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。 A  A  （b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关 L S A dl B dS  =  （c）物理意义   ３、矢势的不唯一性    =  S1 S2 B dS B dS     2 1 ( ) dS dS dS = − = − A = A +     =  +   =  = A A A B  ( )  A = 0  令 可减少矢势的任意性  满足的方程？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 B L 1 dS  2 dS  1 2 1 2 0 S S B dS B dS  +  =   0 S B dS  = 

矢势满足的方程及方程的解 1.A满足的方程 B=uH V×H=J A=0 B 1 V V×B=-V×(V×A)=-[V(V·A)-V4] 2 (1)稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 (2)与静电场中ⅴ=2形式相同 (3)矢势为无源有旋场 机动目录上页下页返回

二．矢势满足的方程及方程的解 2  = − = A J i i i 1, 2,3 1．A 满足的方程  B H   =  A J    = − 2 （1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 形式相同     = − 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 H J    = B A A A J B        =  =   = [( ) −  ] = 1 ( ) 1 1 2      A = 0  （3）矢势为无源有旋场

2.矢势的形式解 1 r p(r)dr 通过类比0= 4兀E J(rdv 4兀 (av 4兀 已知电流密度,可从方程直接积分求解,但一般电流分 布与磁场相互制约,因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3.B的解 X B=V×A V×()dl XX 4: 4 J(x)×F 4m)这正是毕奥-萨伐尔定律 机动目录上页下页返回

3 ( ) 1 ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 V V V J x B A dV J x dV r r J x r dV r    =  =  =          =      2．矢势的形式解    = V r J x dV A ( ) 4      已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分 布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3． B 的解  这正是毕奥-- 萨伐尔定律 机动 目录 上页 下页 返回 结束    = V r (x )dV 4 1     通过类比  ( ) 4 i i V J x dV A r    =  

4.A的边值关系 (a)n·(B2-B1)=0 →n(V×A2-V×A1)=0 l-=(A21-A1)△ A21=A1 求Ad=5B 0 VA-0 An=A2 A=A 机动目录上页下页返回

A  4． 的边值关系 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A2t = A1t  A=0 A A 1 2 =   = −  L t t A dl (A A ) l 2 1   L S A dl B dS  =    0 1 2 n  A A 1n 2n = ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1    − =  − = n A A n B B       （a）

(b)n×(H2-H1)=a→ A ×(—V×A V×A1)=c 特殊情况: ①若分界面为柱面,柱坐标系中当 X A= Ae. a=ae. 1a411a2 C ar ②若分界面为球面,当 a =a C u or 机动目录上页下页返回

A Ae e = = z z       A Ae e     = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束               −  =  − =  ) 1 1 ( ( ) 1 1 2 2 2 1 n A A （b） n H H 特殊情况： ① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 ② 若分界面为球面，当 z x y A     =   −   r A r A 2 2 1 1 1 1    =   −   ( ) 1 ( ) 1 [ 1 2 2 1 1 rA r rA r r ] x z y A 

5.矢量泊松方程解的唯一性定理 定理:给定V内传导电流和V边界S上的A或B v内稳恒电流磁场由v2A=-和边界 条件唯一确定。 稳恒电流磁场的能量 已知均匀介质w=1〔B. 中总能量为 1.在稳恒场中有W=「A ①能量分布在磁场内,不仅分布在电流区 ②A.不是能量密度

5．矢量泊松方程解的唯一性定理 定理：给定V内传导电流 和V边界S上的 或 V 内稳恒电流磁场由 和边界 条件唯一确定。 J  At Bt A J    = − 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三．稳恒电流磁场的能量 已知均匀介质 中总能量为   W = B  HdV   2 1 1．在稳恒场中有   W = A JdV   2 1 ② A J 不是能量密度。    2 1 ① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区