河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 静电场（2.3）拉普拉斯方程的解——分离变量法

第二章第三节 八 p大学点建设课程

第二章第三节 河北师范大学重点建设课程 分离变量法

§2.3拉普拉斯方程的解 分离变量法 分离变量法的用奈件 二、抚普杬斯亦程的解在坐标系形式 三、解题步聚 四、应用窦例(穹题磲 机动目录上页下页返回

§2. 3 拉普拉斯方程的解 —— 分离变量法 一、分离变量法的适用条件 四、应用实例（习题课） 三、解题步骤 二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、拉普拉斯方程的适用条件 1、空间p=0,自由电荷只分布在某些介质(或导 体)表面上,将这些表面视为区域边界,可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布,则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 般所求区域为分区均匀介质,则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和,即=90+q,φo为已知自由电荷产生 的电势,φ不满足V2q=0,φ’为束缚电荷产生 的电势,满足拉普拉斯方程V2o′=0 但注意,边值关系还要用而不能用

1、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。  = 0 一、拉普拉斯方程的适用条件 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 ， 为已知自由电荷产生 的电势， 不满足 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程  0 2   =  0 2   =  =  + 0 0 但注意，边值关系还要用  S 而不能用 S 

二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1、直角坐标V+,x、2 a0,a20 (1)2 (x, v, z)=X(x)Y()z(z) d-X +X=0 kl, B=-k dx d-y y=k+k2=k2 +BY=0 X(x=ae Kx t Be kx d-Z 公+yz=0 Y()=Ceh2V-k,y Z(z=ESin kz F cos kz a+B+y=0

二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    = x y z    1、直角坐标  （1）令 (x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) sin cos k x k x X x Ae Be k y k y Y y Ce De Z z E kz F kz − = + − = + = + 0 0 0 2 2 2 2 2 2 + = + = + = Z dz d Z Y dy d Y X dx d X     +  + = 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 , k k k k k = + = = − = −  令   机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)若卩=(x,y a42+aX=0a=-k2,B=k2a+B=0 dX Y X(x)=Ae Be +BY=0 Y()=Csin ky+Dcos ky 注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边 界条件,k1,k2,将与某些正整数有关,它们可取1, 2,3,∴,只有对它们取和后才得到通解。 (3)若卯=p(x),与y,z无关 0 a x+B 机动目录上页下页返回

（2）若  = (x, y) ( ) ( ) sin cos kx kx X x Ae Be Y y C ky D ky − = + = + （3）若  = (x) ，与 y,z 无关。 Ax B dx d =  = +  0 2 2 0 0 2 2 2 2 + = + = Y dy d Y X dx d X   注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。 k ,k ,k 1 2  +  = 0 2 2  = −k ,  = k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.柱坐标Vq a 89 0 r arar ra8- az 讨论q=0(r,6),令q(,)=f(r)g(O d 8(6 g(6)=0 g(0)=a, sin ve+a, cos ve f()=0一f()有两个线性无关解F、F r ar 单值性要求(0)=(2x),v只能取整数,令v=n p(r,0)=2["(4, sin ne+B, cos m0)+r"(C, sin ne+ D, cos ne)] n= 若=() (r-)=0 Or ar =C→0=A+Bhnr ar

0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 =   +   +      = r r z r r r     2. 柱坐标  讨论  = (r, ) ，令 (r, ) = f (r)g( )        − = + = ( ) ( ) 0 1 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 f r dr r df r dr d r g d d g      1 2 g a a ( ) sin cos  =  +  f (r)  r − 有两个线性无关解 、 r 单值性要求 (0) = (2 ) ，  只能取整数，令  = n 1 ( , ) ( sin cos ) ( sin cos ) n n n n n n n       r r A n B n r C n D n  − = = + + +     C A B r r r =  = + ln     ( ) 0 1 =     r r r r  若  = (r) ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.球坐标 P(R, 0,D)=>(ammR'+ Dmmr)Pm (cos 0 )cos md +>(cmm R"+ Dm )Pm(cos O)sin mg Pm(cosO)—缔合勒让德函数(连带勒让德函数) 若q不依赖于女,即q具有轴对称性,通解为 p(R,0)=2(a,R"+Dm1)P,(cos O) 1 P(cos 0)=cos 1, P(cos0) 为勒让德函数 P,(cos 6)=-(3c0s26-1) n ●若卯与日,φ均无关, b 9具有球对称性,适解:(P a R

1 ( , , ) ( ) (cos )cos n m nm nm n n nm b R a R P m R +      = +  1 ( ) (cos )sin n m nm nm n n nm d c R P m R + + +    3．球坐标 (cos ) m Pn ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）  + = + n n n n n n P R b (R, ) (a R ) (cos ) 1    ⚫ 若  不依赖于  ，即  具有轴对称性，通解为 (3cos 1) 2 1 (cos ) 2 P2  =  − P0 =1 P1 (cos) = cos (cos ) Pn -----为勒让德函数 R b (R) = a +   ,  ⚫ 若 与 均无关， 具有球对称性，通解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三.解题步骤 1.选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状,参 考点主要根据电荷分布是有限还是无限; 2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解; 3.根据具体条件确定常数 (1)外边界条件:电荷分布有限=0 机动目录上页下页返回

三．解题步骤 3. 根据具体条件确定常数 1.选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参 考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解； （1）外边界条件： 电荷分布有限 = 0   机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意:边界条件和边值关系是相对的。导体边界 可视为外边界,给定卯(接地=0),或给 定总电荷Q,或给定O。 电荷分布无限,电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中,E=E:→>-ErCs=-E2 (直角坐标或柱坐标),电势可选在坐标原点 (2)内部边值关系:介质分界面上 C 般讨论分 01=0 S 2|s 01=60n\s 界面无自由 电荷的情况

注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界 可视为外边界，给定 （接地 ），或给 定总电荷 Q，或给定 。 S   = 0 S  z E E e   = 0 E r E z 0 0 → − cos = −    电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。 均匀场中， （2）内部边值关系：介质分界面上 S S S S n n  =   = 2 2 1 1 2 1       一般讨论分 界面无自由 电荷的情况 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四.应用举例 1、两无限大平行导体板,相距为l,两板间电势 差为V(与x,y,z无关),一板接地,求两板间的 电势q和E。 解:(1)边界为平面,故 应选直角坐标系 下板=0,设为参考点 (2)定性分析:因在z=11 q=V(常数),可考虑 q与x,y无关

四．应用举例 1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。 l x, y,z  E  x y O V Z l 解：（1）边界为平面，故 应选直角坐标系 下板 0 1 = S  ，设为参考点 z = l  = V  x, y （2）定性分析：因在 （常数），可考虑 与 无关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束