重庆工商大学：《统计学》课程授课教案（讲义）第六章 时间数列

第六章时间数列 本章重点：序时平均数的计算：两种增长量及两种发展速度的关系： 平均发展速度的计算：长期趋势的测定 S1时间数列的编制 一、时间数列的概念 1、时间数列是同类现象的指标数值按时间先后排列而形成的序列，又叫动态数 列。如： 重庆市历年乡镇企业产值 单位：亿元 年份1984 19851986 1987 ☐1988 产值1631.582684.562569.284712.606233.36 2、任何一个时间数列都具有两个基本要素：一是所属的时间，二是在不同时间 上的统计数据。 3、对时间数列进行分析的目的，一是为了描述事物在过去时间的状态：二是为 了分析事物发展变化的规律性：三是为了根据事物的过去行为预测他们的将 来行为。 二、时间数列的种类及编制原则 1、时间数列按照数列中排列指标的性质，可分为绝对数时间序列、相对数时间 序列、平均数时间序列。绝对数时间数列又分为时期数列和时点数列。 2、时间数列的编制原则：各指标数值所属时间可比：各指标数值总体范围可比： 各指标数值的经济内容、计算口径、计算方法可比。 $2时间数列水平分析指标 水平指标主要有：发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量。 一、发展水平 时间数列每一项指标数值就是发展水平，常用ao、a、·、a表示，通常把 a称为最初水平，把an称为最末水平 二、平均发展水平 它是对不同时期的发展水平求平均数，反映现象在发展中的一般水平，又称 动态平均数或序时平均数。它是不同时间、同一单位的平均：而一般平均数是不

第六章 时间数列 本章重点：序时平均数的计算；两种增长量及两种发展速度的关系； 平均发展速度的计算；长期趋势的测定 §1 时间数列的编制 一、时间数列的概念 1、时间数列是同类现象的指标数值按时间先后排列而形成的序列，又叫动态数 列。如： 重庆市历年乡镇企业产值 单位：亿元 年份 1984 1985 1986 1987 1988 产值 1631.58 2684.56 2569.28 4712.60 6233.36 2、任何一个时间数列都具有两个基本要素：一是所属的时间，二是在不同时间 上的统计数据。 3、对时间数列进行分析的目的，一是为了描述事物在过去时间的状态；二是为 了分析事物发展变化的规律性；三是为了根据事物的过去行为预测他们的将 来行为。 二、时间数列的种类及编制原则 1、时间数列按照数列中排列指标的性质，可分为绝对数时间序列、相对数时间 序列、平均数时间序列。绝对数时间数列又分为时期数列和时点数列。 2、时间数列的编制原则：各指标数值所属时间可比；各指标数值总体范围可比； 各指标数值的经济内容、计算口径、计算方法可比。 §2 时间数列水平分析指标 水平指标主要有：发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量。 一、发展水平 时间数列每一项指标数值就是发展水平，常用 a0、a1、.、an 表示，通常把 a0 称为最初水平，把 an 称为最末水平。 二、平均发展水平 它是对不同时期的发展水平求平均数，反映现象在发展中的一般水平，又称 动态平均数或序时平均数。它是不同时间、同一单位的平均；而一般平均数是不

同单位、同一时间的平均。 (一)对绝对数时间数列计算平均发展水平 1、对时期数列计算平均发展水平 时期数列中的各项指标数值可以相加，形成一段时期的累计总量，所以可直 接加总，再平均求其平均发展水平。公式为：a=a+a++a_∑4 2、对时点数列计算平均发展水平 时点数列可分为连续时点数列和间断时点数列，二者计算序时平均数的方法 略有不同。 密把逐日排列的时点数据视为连续时点数列。公式为：ā艺心政号 n 例6-1：某企业2012年9月上旬的职工人数统计如下： 日期 2 4 7 8 9 10 职工人数（人）200200201201201199199203203203 求9月上旬平均每天的职工人数 解-2.20+200+201+201+201+19+19+203+203+203-201人0 10 例6-2：某企业2000年9月上旬的职工人数变动登记如下： 日期 1368 人数（人）200201199203 求9月上旬平均每天的职工人数 解：a=4-20x2+201x3+199×2+203×3-201(人3 ∑f 10 ②对间断时点数列计算平均发展水平 当时点数列中的数据是每隔一段时间（如隔一月、一年等）才观测一次的数 据时，这样的时点数列为时点数列。假定相邻两时点间现象的数量变动是均匀的， 则这两个时点间时间段的代表值为相邻两时点数值相加除以2，又分别以、 6、.、f1,代表相邻时点间的时间间隔长度，则整个时间段的序时平均数可用 下式表示：

同单位、同一时间的平均。 （一）对绝对数时间数列计算平均发展水平 1、对时期数列计算平均发展水平 时期数列中的各项指标数值可以相加，形成一段时期的累计总量，所以可直 接加总，再平均求其平均发展水平。公式为： a = n a a an + +  + 1 2 = n a 2、对时点数列计算平均发展水平 时点数列可分为连续时点数列和间断时点数列，二者计算序时平均数的方法 略有不同。 ① 常把逐日排列的时点数据视为连续时点数列。公式为： a = n a 或   f af 例 6-1：某企业 2012 年 9 月上旬的职工人数统计如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 职工人数（人） 200 200 201 201 201 199 199 203 203 203 求 9 月上旬平均每天的职工人数 解： a = n a = 10 200 + 200 + 201+ 201+ 201+199 +199 + 203 + 203 + 203 =201（人） 例 6-2：某企业 2000 年 9 月上旬的职工人数变动登记如下： 日期 1 3 6 8 人数（人） 200 201 199 203 求 9 月上旬平均每天的职工人数 解： a =   f af = 10 200 2 + 2013 +199 2 + 2033 =201（人） ②对间断时点数列计算平均发展水平 当时点数列中的数据是每隔一段时间（如隔一月、一年等）才观测一次的数 据时，这样的时点数列为时点数列。假定相邻两时点间现象的数量变动是均匀的， 则这两个时点间时间段的代表值为相邻两时点数值相加除以 2，又分别以 f1、 f2、.、fn-1，代表相邻时点间的时间间隔长度，则整个时间段的序时平均数可用 下式表示：

ataf+a时f+a-af a=2 f 当各时点间隔相等，即f=f==f1时，则有 t4a,+009+a+.+a+2（首折￥法) ) d=- n-1 n-1 例6-3：某企业2012年第三季度职工人数资料如下： 时间 6.307318319.30 人数（人）435452462576 试计算第三季度平均每月职工人数 解：：该数列属于间隔相等的时点数列 .4+0,+.+0a-+22+452+462+376 2=473(人) n-1 4-1 例64：某企业2012年耐用品库存资料如下： 日期 1.13.17.19.112.112.31 库存量（台）554042445060 求平均库存量 解：：该数列属于间隔不等的时点数列 atafaafata a 2 2 一（加权序时平均数法） f 55+40×2+40+42×4+42+44×2+44+50×3+0+60x1 2 2 =45(台) (二)对相对数时间数列或对平均数时间数计算平均发展水平 基本原则：先计算分子、分母数列的序时平均数，然后对比即得。 基本公式：G-日 例6-5：某企业历年的利润、收入、利润率的资料如下，求平均每年销售利润率。 年份 19961997199819992000 销售利猫（万元） 190210 188 205210 销售收入（万元） 900 920 950 980 1000 销售利润率(%)21.1122.8319.7920.9221

a =  − = − − + +  + + + + 1 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 n i i n n n f f a a f a a f a a 当各时点间隔相等，即 f1=f2=.=fn-1 时，则有 a = 1 2 2 2 1 2 2 3 1 − + +  + + + + − n a a a a an an = 1 2 2 2 1 1 − + +  + + − n a a a a n n （首末折半法） 例 6-3：某企业 2012 年第三季度职工人数资料如下： 时间 6.30 7.31 8.31 9.30 人数（人） 435 452 462 576 试计算第三季度平均每月职工人数 解：∵ 该数列属于间隔相等的时点数列 ∴ a = 1 2 2 2 1 1 − + +  + + − n a a a a n n = 4 1 2 576 452 462 2 435 − + + + =473（人） 例 6-4：某企业 2012 年耐用品库存资料如下： 日期 1.1 3.1 7.1 9.1 12.1 12.31 库存量（台） 55 40 42 44 50 60 求平均库存量 解：∵ 该数列属于间隔不等的时点数列 ∴ a =  − = − − + +  + + + + 1 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 n i i n n n f f a a f a a f a a （加权序时平均数法） = 12 1 2 50 60 3 2 44 50 2 2 42 44 4 2 40 42 2 2 55 40  +  + +  + +  + +  + + =45（台） （二）对相对数时间数列或对平均数时间数计算平均发展水平 基本原则：先计算分子、分母数列的序时平均数，然后对比即得。 基本公式： c = b a 例 6-5：某企业历年的利润、收入、利润率的资料如下，求平均每年销售利润率。 年份 1996 1997 1998 1999 2000 销售利润（万元） 190 210 188 205 210 销售收入（万元） 900 920 950 980 1000 销售利润率（%） 21.11 22.83 19.79 20.92 21

解：设分别用c、a、b表示销售利润率、销售利润、销售收入 显然c号则号 石_∑0_190+210+188+205+210-20.6（万元 6=2.90+920+950+980+1000=950(万元) 5 eg-200212% 例6-6：某企业2012年第一季度有关劳动生产率的资料如下，求第一季度平均每 月劳动生产率 月份 1234 净产值（万元)250272271323 月初工人人数（人）850900950950 劳动生产率（元/人）285729412853一 解：设分别用c、a、b表示劳动生产率、净产值、工人人数 显然c号，则6日 石20_230+2n+271-2643（万元 3 +bh.++h.+850+900+950+950 6=2 22 =916.67(人) n-1 4-1 G=0-264,33×1000元-283.63（元/人） 916.67人 三、增长量与平均增长量 1、增长量=报告期水平·基期水平 (1)逐期增长量：a-a.l,表示本期比上期增长量 (2)累计增长量：a-a0,表示一定时期的总增长量 累计增长量等于相应的各逐期增长量之和 (3)年距增长量=报告期某月（季）发展水平一上年同月（季）水平 2、平均增长量：它是逐期增长量的序时平均数 平均增长量= (a.-a) aao n

解：设分别用 c、a、b 表示销售利润率、销售利润、销售收入 显然 c = b a ，则 c = b a a = n a = 5 190 + 210 +188 + 205 + 210 =200.6（万元） b = n b = 5 900 + 920 + 950 + 980 +1000 =950（万元） c = b a = 950 200.6 =21.12% 例 6-6：某企业 2012 年第一季度有关劳动生产率的资料如下，求第一季度平均每 月劳动生产率。 月份 1 2 3 4 净产值（万元） 250 272 271 323 月初工人人数（人） 850 900 950 950 劳动生产率（元/人） 2857 2941 2853 — 解：设分别用 c、a、b 表示劳动生产率、净产值、工人人数 显然 c = b a ，则 c = b a a = n a = 3 250 + 272 + 271 =264.3333（万元） b = 1 2 2 2 1 1 − + +  + + − n b b b b n n = 4 1 2 950 900 950 2 850 − + + + =916.67（人） c = b a = 人 元 916.67 264.333310000 =2883.63（元/人） 三、增长量与平均增长量 1、增长量= 报告期水平 - 基期水平 （1）逐期增长量：ai- ai-1 ，表示本期比上期增长量 （2）累计增长量：ai- a0 ，表示一定时期的总增长量 累计增长量等于相应的各逐期增长量之和 （3）年距增长量=报告期某月（季）发展水平－上年同月（季）水平 2、平均增长量：它是逐期增长量的序时平均数 平均增长量= ( ) n n i  ai ai = − − 1 1 = n an a0 −

$3时间数列速度分析指标 速度指标主要有：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度 发展速度 发展速度=报告期水平/基期水平 环比发展速度：a/arl 定基发展速度：ai/ao(也称总速度) 定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积：相邻两个定基发展速度的 商等于相应时期的环比发展速度。 二、增长速度 增长速度=发展速度·1 增长速度为正，表示报告期比基期增长：增长速度为负，表示报告期比基期降低 环比增长速度=环比发展速度-1：定基增长速度=定基发展速度一1 应当指出，环比增长速度与定基增长速度的相互换算关系，与发展速度的换算 关系不同，环比增长速度的连乘积并不等于相应时期的定基增长速度。若要由环 比增长速度计算定基增长速度，只能先将环比增长速度加1转换为环比发展速 度，通过环比发展速度连乘计算定基发展速度，再减1，才能求得定基增长速度。 二、平均发展速度 平均发展速度是环比发展速度的一般水平，而且是环比发展速度的序时平均 数。通常采用几何平均法或方程式法加以计算。 1、几何平均法（水平法） x=x×xxX。a0 ,其中，X、x,表示各期的环比发 展速度 例6-7：已知某地区钢产量2007~2011年各年的环比发展速度分别为107.82%、 105.6%、103.63%、107.73%、107.01%。求钢产量平均每年的发展速度。若2006 年的钢产量为5220吨，平均每年的发展速度为105%，则2011年的钢产量为多 少？ 解：①元=x×2X.×X =/1.0782×1.056×1.0363×1.0773×1.0701=106.35%

§3 时间数列速度分析指标 速度指标主要有：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度 一、发展速度 发展速度=报告期水平/基期水平 环比发展速度：ai / ai-1 定基发展速度：ai / a0 （也称总速度） 定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积；相邻两个定基发展速度的 商等于相应时期的环比发展速度。 二、增长速度 增长速度=发展速度 - 1 增长速度为正，表示报告期比基期增长；增长速度为负，表示报告期比基期降低 环比增长速度=环比发展速度 – 1；定基增长速度=定基发展速度 – 1 应当指出，环比增长速度与定基增长速度的相互换算关系，与发展速度的换算 关系不同，环比增长速度的连乘积并不等于相应时期的定基增长速度。若要由环 比增长速度计算定基增长速度，只能先将环比增长速度加 1 转换为环比发展速 度，通过环比发展速度连乘计算定基发展速度，再减 1，才能求得定基增长速度。 二、平均发展速度 平均发展速度是环比发展速度的一般水平，而且是环比发展速度的序时平均 数。通常采用几何平均法或方程式法加以计算。 1、几何平均法（水平法） x = n x x xn   1 2 = n n a a 0 ，其中， x1、x2、.、xn 表示各期的环比发 展速度 例 6-7：已知某地区钢产量 2007～2011 年各年的环比发展速度分别为 107.82%、 105.6%、103.63%、107.73%、107.01%。求钢产量平均每年的发展速度。若 2006 年的钢产量为 5220 吨，平均每年的发展速度为 105%，则 2011 年的钢产量为多 少？ 解：① x = n x x xn   1 2 = 5 1.07821.0561.03631.07731.0701 =106.35%

②己知a,=5220 x=1.05 又：和a a. a.=a×(民=5220×1.05=662.19（吨） 可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点是着眼于期末水平，不论 中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影 响，所以几何平均法也称为“水平法”。 2、方程式法（累计法) 设平均发展速度为下，各期按固定平均发展速度x计算的推算水平为 a()(il,2,n),各期实际水平之和为a+a2ta.=立a,假定推算 水平之和的等于实际水平之和，则有： a+a(++a(-2a -.2a 解此高次方程所得的正根，就是按方程式法所得的平均发展速度。 用方程式法计算的平均发展速度的特点，是着眼于各期水平的累计之和，所 以又称为“累计法” 在选用计算平均发展速度的方法时，应根据所研究现象的特点去确定。如果 是侧重于所研究现象最末期的发展水平，例如最后所达到的生产能力、产值、人 口的增长等，则应采用几何平均法。如果是侧重于所研究现象各期发展水平的总 和，例如累计新增固定资产数、累计毕业生人数等，则应采用方程式法。 四、平均增长速度 平均增长速度=平均发展速度.1 平均增长速度为正值表明现象在该段时间内平均来说是递增的：相对应地， 平均增长速度为负值表明现象在该段时间内平均来说是递减的

② 已知 a0 =5220 x = 1.05 又 ∵ x = n n a a 0 ∴ an = a0 × (x) n =5220× 1.055 =6662.19（吨） 可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点是着眼于期末水平，不论 中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影 响，所以几何平均法也称为“水平法”。 2、方程式法（累计法） 设平均发展速度为 x ，各期按固定平均发展速度 x 计算的推算水平为 a0 (x) i （i=1,2,.,n）,各期实际水平之和为 a1 + a2 +.+ an == n i ai 1 。假定推算 水平之和的等于实际水平之和，则有： a0 x + a0 (x) 2 +.+ a0 (x) n == n i ai 1 x + (x) 2 +.+ (x) n = a a n i i 0 1 = 解此高次方程所得的正根,就是按方程式法所得的平均发展速度。 用方程式法计算的平均发展速度的特点，是着眼于各期水平的累计之和，所 以又称为“累计法” 在选用计算平均发展速度的方法时，应根据所研究现象的特点去确定。如果 是侧重于所研究现象最末期的发展水平，例如最后所达到的生产能力、产值、人 口的增长等，则应采用几何平均法。如果是侧重于所研究现象各期发展水平的总 和，例如累计新增固定资产数、累计毕业生人数等，则应采用方程式法。 四、平均增长速度 平均增长速度=平均发展速度- 1 平均增长速度为正值表明现象在该段时间内平均来说是递增的；相对应地， 平均增长速度为负值表明现象在该段时间内平均来说是递减的

$4长期趋势的测定与分析 本节重点：时间序列的构成要素：线性趋势的测定方法 一、时间序列的构成要素与模型 l、影响时间序列的构成要素通常可归纳为四种：长期趋势(Secular Trend)、季 节变动(Seasonar Fluctuation)、循环变动(Cyclical Variation)、不规则变动 (Irregular Variation). ①长期趋势(T):指现象在一段相当长的时间内所表现的沿着某一方向的持续 发展变化，可以是不断增长，也可以是不断下降。例如，从较长时期看，人民生 活水平呈现持续上升的趋势，人口死亡率呈下降趋势。造成长期趋势的是一些缓 慢发生作用的因素，如人口的增长、资本的积累、技术的进步、消费习惯的改变 等。 ②季节变动(S):本来意义上的季节变动是指受自然因素的影响，在一年中随 季节的更替而发生的有规律的变动。现在对季节变动的概念有了扩展，对一年内 由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重 复变动，都称为季节变动。如，由于气候因素，羊毛衫的销售量，在冬天大，在 夏天小。 ③循环变动(C):循环变动指以若干年（或月、季）为一定周期的有一定规律 性的周期波动。循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有 涨有落的交替波动。循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致， 不象季节变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，循环变动的规律性不甚 明显，通常较难识别。 ④不规则变动(I):它指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。 2、形成时间序列变动的四类因素，按照他们的影响方式的不同，可以设定为不 同的组合模型，其中最常用的有乘法模型和加法模型。 乘法模型：Y=T.S.C.1 加法模型：Y=T+S+C+H 乘法模型是假定四个因素对现象发展的影响是相互的，以长期趋势成分的 绝对量为基础，其余成分均以比率（相对量）表示。加法模型是假定四个因素的 影响是独立的，每个成分均以绝对量表示

§4 长期趋势的测定与分析 本节重点：时间序列的构成要素；线性趋势的测定方法 一、时间序列的构成要素与模型 1、影响时间序列的构成要素通常可归纳为四种：长期趋势(Secular Trend)、季 节变动(Seasonar Fluctuation)、循环变动(Cyclical Variation)、不规则变动 (Irregular Variation)。 ①长期趋势（T）：指现象在一段相当长的时间内所表现的沿着某一方向的持续 发展变化，可以是不断增长，也可以是不断下降。例如，从较长时期看，人民生 活水平呈现持续上升的趋势，人口死亡率呈下降趋势。造成长期趋势的是一些缓 慢发生作用的因素，如人口的增长、资本的积累、技术的进步、消费习惯的改变 等。 ②季节变动（S）：本来意义上的季节变动是指受自然因素的影响，在一年中随 季节的更替而发生的有规律的变动。现在对季节变动的概念有了扩展，对一年内 由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重 复变动，都称为季节变动。如，由于气候因素，羊毛衫的销售量，在冬天大，在 夏天小。 ③循环变动（C）：循环变动指以若干年（或月、季）为一定周期的有一定规律 性的周期波动。循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有 涨有落的交替波动。循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致， 不象季节变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，循环变动的规律性不甚 明显，通常较难识别。 ④不规则变动（I）：它指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。 2、形成时间序列变动的四类因素，按照他们的影响方式的不同，可以设定为不 同的组合模型，其中最常用的有乘法模型和加法模型。 乘法模型：Y = T﹒S﹒C﹒I 加法模型：Y = T+S+C+I 乘法模型是假定四个因素对现象发展的影响是相互的，以长期趋势成分的 绝对量为基础，其余成分均以比率（相对量）表示。加法模型是假定四个因素的 影响是独立的，每个成分均以绝对量表示

二、长期趋势的测定（线性） 线性趋势的特点是其变化率或趋势线的斜率基本保持不变。测定线性趋势的 方法有多种，最常用的有移动平均法和趋势方程拟合法。 (一)时距扩大法： 1、这是测定长期趋势最原始、最简便的方法： 2、其作用是消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势。 3、只适用于时期数列： 4、扩大的时距应与社会经济现象本身的变化周期一致： 5、扩大后的时距要一致，保持其可比性。 (二)移动平均法 它是按一定项数(N)求序时平均数，逐项移动，边移边求平均数。这些序 时平均数形成的新数列消除或削弱了原数列中的由于短期偶然因素引起的不规 则变动和其他成分，对原数列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期 的发展趋势 1、N越大，对数列的修匀作用越强。 2、奇数项移动，数字放在中间一项的位置，新数列首尾各减少(N1)2项。偶 数项移动，数字放在中间两项位置之间，再进行二次平均，称移正平均，新 数列首尾各减少N2项。 3、当存在周期时，以周期数作为移动的项数。 4、又分简单移动平均和加权移动平均。 5、移动平均法使用于分析时间序列的长期趋势，但不适合对现象未来的发展趋 势进行预测。 (三)直线趋势方程拟合法 它是利用直线回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动， 从而揭示出数列长期直线趋势的方法。直线趋势方程的一般形式为： )=a+bt，其中，)为趋势值、t为时间标号，其最小二乘解为： 器瓷器 -bi∑1=0时

二、长期趋势的测定（线性） 线性趋势的特点是其变化率或趋势线的斜率基本保持不变。测定线性趋势的 方法有多种，最常用的有移动平均法和趋势方程拟合法。 （一）时距扩大法： 1、这是测定长期趋势最原始、最简便的方法； 2、其作用是消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势。 3、只适用于时期数列； 4、扩大的时距应与社会经济现象本身的变化周期一致； 5、扩大后的时距要一致，保持其可比性。 （二）移动平均法 它是按一定项数（N）求序时平均数，逐项移动，边移边求平均数。这些序 时平均数形成的新数列消除或削弱了原数列中的由于短期偶然因素引起的不规 则变动和其他成分，对原数列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期 的发展趋势。 1、N 越大，对数列的修匀作用越强。 2、奇数项移动，数字放在中间一项的位置，新数列首尾各减少（N-1）/2 项。偶 数项移动，数字放在中间两项位置之间，再进行二次平均，称移正平均，新 数列首尾各减少 N/2 项。 3、当存在周期时，以周期数作为移动的项数。 4、又分简单移动平均和加权移动平均。 5、移动平均法使用于分析时间序列的长期趋势，但不适合对现象未来的发展趋 势进行预测。 （三）直线趋势方程拟合法 它是利用直线回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动， 从而揭示出数列长期直线趋势的方法。直线趋势方程的一般形式为： yt ˆ = a+bt ，其中， yt ˆ 为趋势值、t 为时间标号，其最小二乘解为： b=  ( )    −  − n t t n ty t y 2 2 当t = 0时   t ty 2 a= y - b t 当t = 0时 y

例6-8：某地区2005~2010年的原煤产量如下，试用最小二乘法确定其趋势方程， 并由此预测2011年的原煤产量。 单位：亿吨 年份 200520062007200820092010 时间(t) 123456 原煤产量y)8.728.949289.810.5410.8 解：由题知：∑1=21∑y=211.14∑f2=91∑y=58.08n-6 设)，=a+bt则 b=n∑少-∑12_6x21114-21x58.08-0449 n∑f-（(区tj 6×91-21 年5-bi-5808-049xg8108 6 所以，y=8.108+0.449t 当=7时，=8.108+0449×7=11.251（亿吨） 即2011年的原煤产量预计可达11.251亿吨。 三、非线性趋势（以二次曲线方程为例） 如果每期的二级增长量基本相等，就可采用二次曲线方程。 =a+b+c2 按最小二乘法导出三个标准方程式： Ey=na+bEt+c 2y=a21+b82+c2r3 Et'y=aEr2+bEr+cr 令1=0，则： Ey=na+c Ety=bEr2 E12y=a82+c1 二次曲线方程的一般形式为：

例 6-8：某地区 2005～2010 年的原煤产量如下，试用最小二乘法确定其趋势方程， 并由此预测 2011 年的原煤产量。 单位：亿吨 年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 时间（t） 1 2 3 4 5 6 原煤产量（y） 8.72 8.94 9.28 9.8 10.54 10.8 解：由题知： t =21 ty =211.14 t 2 =91 y =58.08 n=6 设 yt ˆ = a+bt 则 b=  ( )    −  − n t t n ty t y 2 2 = 212 6 91 6 211.14 21 58.08  −  −  =0.449 a= y - b t = 6 58.08 - 0.449× 6 21 =8.108 所以， yt ˆ = 8.108+0.449t 当 t=7 时， yt ˆ = 8.108+0.449×7=11.251（亿吨） 即 2011 年的原煤产量预计可达 11.251 亿吨。 三、非线性趋势（以二次曲线方程为例） 如果每期的二级增长量基本相等，就可采用二次曲线方程。 二次曲线方程的一般形式为： 2 2 4 2 2 2 2 3 4 2 3 2 2 0 ˆ t y a t c t ty b t y na c t t t y a t b t c t ty a t b t c t y na b t c t y a bt ct t  =  +   =   = +   =  =  +  +   =  +  +   = +  +  = + + 令 ，则： 按最小二乘法导出三个标准方程式：

§5季节变动的测定 一、季节变动及其测定目的 季节变动是指客观现象受自然因素或社会因素影响，而形成的有规律的周期 性变动。如商业活动中的“销售旺季”和“销售淡季”、旅游业的“旅游旺季 和“旅游淡季”。 测定季节变动的目的，一是通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的 决策提供依据：二是为了对未来现象季节变动作出预测，以便提前作出合理的安 排：三是为了当需要不包含季节变动因素的数据时，能够消除季节变动对数列的 影响，以便更好地分析其他因素。 二、季节变动的测定 测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看，可分为两种： 是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间数列直接去测定季节变动：二是根据剔 除长期趋势后的数据测定季节变动。计算出季节比率，季节比率大说明为旺季， 反之为淡季。 (一)原始资料平均法（按月或季平均法） 1、计算各年同月（季）的平均数 2、计算所有月（季）的总平均数 3、用各年同月的平均数除以总平均数，即得该月（季）的季节比率。 运用原始资料平均法的基本假定是原时间序列没有明显的长期趋势和循环 变动。 (二)趋势剔除法 如果数列包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，就应当首先设法从数 列中消除趋势因素，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出 季节变动成分。 1、计算移动平均数，得趋势值，趋势值包含趋势变动T和循环变动C。 2、用原数列各项数据对应地除以趋势值，得修匀比率，从而消除了趋势变动T 和循环变动C的影响。(TCS=SD 3、计算各年同月（季）的修匀比率的平均数，从而消除了不规则变动I的影响。 4、计算修匀比率的总平均数。 5、用各年同月（季）的修匀比率的平均数除以修匀比率的总平均数，即得该月

§5 季节变动的测定 一、季节变动及其测定目的 季节变动是指客观现象受自然因素或社会因素影响，而形成的有规律的周期 性变动。如商业活动中的“销售旺季”和“销售淡季”、旅游业的“旅游旺季” 和“旅游淡季”。 测定季节变动的目的，一是通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的 决策提供依据；二是为了对未来现象季节变动作出预测，以便提前作出合理的安 排；三是为了当需要不包含季节变动因素的数据时，能够消除季节变动对数列的 影响，以便更好地分析其他因素。 二、季节变动的测定 测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看，可分为两种：一 是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间数列直接去测定季节变动；二是根据剔 除长期趋势后的数据测定季节变动。计算出季节比率，季节比率大说明为旺季， 反之为淡季。 （一）原始资料平均法（按月或季平均法） 1、计算各年同月（季）的平均数 2、计算所有月（季）的总平均数 3、用各年同月的平均数除以总平均数，即得该月（季）的季节比率。 运用原始资料平均法的基本假定是原时间序列没有明显的长期趋势和循环 变动。 （二）趋势剔除法 如果数列包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，就应当首先设法从数 列中消除趋势因素，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出 季节变动成分。 1、计算移动平均数，得趋势值，趋势值包含趋势变动 T 和循环变动 C。 2、用原数列各项数据对应地除以趋势值，得修匀比率，从而消除了趋势变动 T 和循环变动 C 的影响。（ T C T C S I     =S.I） 3、计算各年同月（季）的修匀比率的平均数，从而消除了不规则变动 I 的影响。 4、计算修匀比率的总平均数。 5、用各年同月（季）的修匀比率的平均数除以修匀比率的总平均数，即得该月