北京大学：《大气动力学基础》精品课程教案讲义_第八章 中纬度天气尺度系统动力学：稳定度理论（8.2）

§4斜压不稳定波(工I):两层模式 O=0 p=0 mb p=250 mb 500mb y ---p=750mb C4=0 p=1000mb 斜压两层模式( Phillips模式)的分层示意图 vy+(2-vNiv+B ay= fo O g +—0 at a

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 斜压两层模式（Phillips模式）的分层示意图 p = 0 mb p = 250 mb p = 500 mb p = 750 mb p = 1000 mb ω0 = 0 ω4 = 0 ω2 ψ1 ψ 3 ( ) ( ) 0 0 0 2 2 + = ∂ ∂ + ⋅∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∇ + ⋅∇ ∇ + ∂ ∂ ω ψ ψ σ ψ ω ψ ψ β p f V t p p f x V t g g ˆ ˆ

§4斜压不稳定波(I):两层模式 Vv1+e V OX p v2+(2.y下v+p2y t v1-v3)+ 2.ym1-wy)= fo ②,(② y|、vs=v

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 p p p p p p p p Δ − ≈ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ Δ = − Δ − ≈ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ Δ = Δ− ≈ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ 3 1 2 4 2 2 3 2 0 2 1 ψ ψ ψ ω ω ϖ ω ω ω ϖ ω , ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 1 3 2 1 3 2 2 0 3 3 2 2 2 0 1 1 2 , , ω σ ψ ψ ψ ψ ω ψ ψ ψ β ω ψ ψ ψ β f p V t p f x V t p f x V t g g g Δ − + ⋅∇ − = ∂ ∂ Δ = − ∂ ∂ ∇ + ⋅∇ ∇ + ∂ ∂ Δ = ∂ ∂ ∇ + ⋅∇ ∇ + ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ

§4斜压不稳定波(I):两层模式 V,=-Uy+(x, t)), V=-U,y+s(x, t), 线性化小扰动方程: 02=O,(x, +U1 Op, 1 O ax△ +u +B O2 a 0,+0, a 1-93 ,00 U3 f

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 ( ) ( ) ( ) x t U y x t U y x t , , , , , 2 2 3 3 3 1 1 1 ω ω ψ ϕ ψ ϕ = = − + = − + ( ) ( ) 2 0 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 0 2 3 2 3 2 1 0 2 1 2 1 2 2 , , ω σ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ β ϕ ω ϕ β ϕ f p x U U x U U t p f x x x U t p f x x x U t Δ + = ∂ − ∂ ⎟ − − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂ + ∂ + ∂∂ Δ = − ∂ ∂ + ∂ ∂⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ Δ = ∂ ∂ + ∂ ∂⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ 线性化小扰动方程：

§4斜压不稳定波(I):两层模式 P, Aexplik(x-ct ik[(e-U,k2+B].c P3=Bexplik(x-ct a,=Cexplik(x-ct ]k (c-U,k2+B]B+ Joc=0; UA+ikIc-UB C=0. 色散关 B(k2+z2) C=U ±2 系: k2(k2+2元 B224-U2k(414-k k4(k2+2x2 U1+U3

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 [ ] ( ) [ ] ( ) exp[ ] ( ) . exp , exp , C ik x ct B ik x ct A ik x ct = − = − = − 2 3 1 ω ϕ ϕ [ ] ( ) [ ] ( ) ()() . ; ; 0 0 0 0 3 1 2 0 3 2 0 1 = Δ − − + − − = Δ − + + = Δ − + − C f p ik c U A ik c U B C p f ik c U k B C p f ik c U k A σ β β ( ) ( ) , 2 21 2 2 2 2 2 δ λ β λ ± ++ = − k kk c U m ( ) ( )2 4 2 2 2 4 2 4 4 4 2 4 λ β λ λ δ + − − ≡ k k U k k T 色散关 系： 2 2 1 3 1 3 2 0 , 2 , 2 p U U f U U U Um T Δ = − = + = σ λ

§4斜压不稳定波(I):两层模式 、基流为正压:Un=0,且B≠0 =U B b C=U k2+2x A=B. C=0 A=-B.C=-12/_BB p k+2/ 25 0 fo B v1=-v2 pk2+22 正压模态:上下层扰动流 场相等,500mb面的垂直 斜压模态:上下层扰动流场位 相相差180度,500mb垂直速度 速度为零。 场比高层流场超前90度

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 , 0 , 0 1 = 2 2 = = = ψ ψ ϖ A B C 正压模态：上下层扰动流 场相等，500mb面的垂直 速度为零。 2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 2 2 , , 2 2 , ψλ β σ ψ ψ ϖ λ β σ Δ + = − = − Δ + = − = − p k f i B p k f A B C i 斜压模态：上下层扰动流场位 相相差180度，500mb垂直速度 场比高层流场超前90度。 1、基流为正压：UT = 0, 且 β ≠ 0 a) 1 2 k c Um β = − 2 2 2 2λ β+ = − k b) c Um

§4斜压不稳定波(I):两层模式 2、基流斜压U7≠0,且B=0, k2-22 Um+UT k=√2 k2+22 k×k 短波稳定;k口k长波不稳定,不稳 C定增长率为: 222-k2)2 kc.=kU kc.=kc 22+k max

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 2、基流斜压 2 1 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ +− = ± λλ kk c Um UT kc = 2λ k Mkc 短波稳定； c k ‡k 长波不稳定，不稳 定增长率为： 2 1 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ +− = kk kci kUT λλ max , kci kci k = 0 = 2λ 2 −1 ≠ 0, 且 β = 0, UT

kc 2U 0.6 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 22

T i U kc 2λ 2λ k

§4斜压不稳定波(I):两层模式 (2a)2~2×103m3N, ∫~10-4/s ◆=500hPa, 2 ~300mn.--1界波长 L,~4700Km 最不稳定波长

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 ( ) L Km Km k L p hPa f s m Ns c c c 4700 3000 2 500 10 2 2 10 1 4 0 3 3 2 1 ~ ~ . , ~ / , ~ / , π σ = Δ = × − − -------最不稳定波长 -----临界波长

§4斜压不稳定波(I):两层模式 B≠0,Ur≠0 c=U B(k2+ ±6 +22 B2x4-U2k+(424-k+) k=√2 k4(k2+2元 k xk 稳定 k ake, U,t Bn k(4x-k)稳定;否则,不稳定 Ur口Un,所有扰动均稳定 2x2 √22

§4 斜压不稳定波 (II): 两层模式 3、β ≠ 0, UT ≠ 0 ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 2 4 2 4 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 λ β λ λ δ δ λ β λ + − − ≡ ± + + = − k k U k k k k k c U T m , k c = 2 λ , k Mkc 稳定； ( ) , , 2 1 2 4 4 2 k 4 k k kc UT λ − βλ ‡ ‡ 稳定；否则，不稳定 2 2 2 2 2 λ λ β = = k UTc UT UTc , ‡ , 所有扰动均稳定

U /222 Unstable Stable 040.50.6 k 22

Unstable Stable 2 2 2λ k 2 β / 2λ UT