北京大学：《大气动力学基础》精品课程教案讲义_第四章 大气中的涡旋运动（4.2）

§2涡度和涡度方程 涡度 丌=V×ν=5i+ηj+gk 气象上常用 00v ou aw ou J 绝对涡度的垂直分量 绝对涡度: O=V∧V+9∧ )0+252+(m+f方+(+)k 绝对涡度=相对涡度+地转涡度

§2 涡度和涡度方程 v i j k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ϖ = ∇ × = ξ + η + ς y u x v x w z u z v y w ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ξ = , η , ς a (V r) i ( f )j ( f )k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ω = ∇∧ +Ω∧ =ω +2Ω =ξ + η + 1 + ς + 绝对涡度： 涡度： 气象上常用 绝对涡度 = 相对涡度 + 地转涡度 绝对涡度的垂直分量

§2涡度和涡度方程 涡度与环流的关系: O dA 特别,当闭合回路 ·d=(入ka 取在水平面上时 此时的环流就等于通过该闭合回路所围面积上的垂直涡度通量 ·d li (垂直)涡度等于(水平面上的)单位面积上的环流。 环流度量的流体运动的宏观旋转趋势,而涡度则是度量了流体质点绕自身 轴旋转的趋势

§2 涡度和涡度方程 ( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ⋅ = ∇ ∧ ⋅ = A A n l V dr V ndA ω dA 涡度与环流的关系： ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ∫∫ ∫ ∫∫ = ⋅ = ∇ ∧ ⋅ dA V d r V k dA l ς ˆ ˆ ˆ ˆ 特别，当闭合回路 取在水平面上时： 此时的环流就等于通过该闭合回路所围面积上的垂直涡度通量 A V dr A ∫ ⋅ = → ˆ ˆ 0 ς lim （垂直）涡度等于（水平面上的）单位面积上的环流。 环流度量的流体运动的宏观旋转趋势，而涡度则是度量了流体质点绕自身 轴旋转的趋势

§2涡度和涡度方程 5×0气旋式涡度(逆时针旋转), 5口0反气旋式涡度(顺时钟旋转) 以流线作为自然坐标系的涡度 V(6s+dδs)-v+o Sn ss V Sn sB on ss n n Sn s R an d(os 曲率涡度切变涡度

气旋式涡度（逆时针旋转）， 反气旋式涡度（顺时钟旋转） ς M 0 ς ‡ 0 §2 涡度和涡度方程 以流线作为自然坐标系的涡度 ( ) n V R V n V s V n s n s n V V n n s n s n V V s d s V s ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − + = δ δβ δ δ δ δβ δ δ δ δ δ δ δ δ ς 曲率涡度 切变涡度 n n V V δ ∂ ∂ +

§2涡度和涡度方程 急流以北,为气旋式涡度 脊槽 脊 区 =0 急流以南,为气旋式涡度 急流与涡度 波状运动与涡度 (切变涡度) (曲率涡度)

§2 涡度和涡度方程 急流与涡度 （切变涡度） M0 n V ∂ ∂ − ‡0 n V ∂ ∂ − 急流以北，为气旋式涡度 急流以南，为气旋式涡度 A 区 B区 脊 槽 脊 波状运动与涡度 （曲率涡度） ς M0 ς M0

涡度方程 §2涡度和涡度方程 利用 v·1 V +(×y)×v +g+F涡度的散度为0 V 十可 v,=B(ava日vxF B=-Vc×Vp 斜压项 (aa v ) y -倾斜项 v--散度项

涡度方程 §2 涡度和涡度方程 ( ) ( ) v v v v v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎟ + ∇ × × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ∇ = ∇ 2 v p g F v v t v a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎟ + × = − ∇ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ∇ ∂ ∂ ρ ϖ 1 2 ( ) ( ) ( ) () ( ) v v v v v v v v a a a a a a a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ⋅ ∇ + ∇ ⋅ − ⋅ ∇ ∇ × × = ⋅ ∇ + ∇ ⋅ − ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ () ( ) v B v v F t a a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ⋅∇ = + ⋅∇ − ∇⋅ + ∇ × ∂ ∂ ϖ ϖ ϖ ϖ 利用 涡度的散度为 0 B = −∇ α × ∇p ˆ ---斜压项 ( )v a ˆ ˆ ϖ ⋅ ∇ ---倾斜项 v a ˆ ˆ − ϖ ∇⋅ ---散度项

§2涡度和涡度方程 TTalor-Proundman定理 Proudman曾预言:均质不可压流体,如运动很缓慢,当运动趋于定常 时,则运动是二维的。后来, Taylor以实验证明了 Proudman的预言 1)均质:必正压 B≡0 2)不可压 V·V=0 3)缓慢 Ap<2a.=2.v=0.三阶小量 4)定常 ao/at≈0 5)无摩擦 F=0 0 流体运动不随旋转轴变化,即流体运动是二维的

§2 涡度和涡度方程 Talor-Proundman 定理： Proundman 曾预言：均质不可压流体，如运动很缓慢，当运动趋于定常 时，则运动是二维的。后来,Taylor以实验证明了Proundman 的预言. 1）均质：必正压 B ≡ 0 ˆ ∇ ⋅V = 0 ˆ ∇ ∧ << 2Ω, ω ≈ 2Ω, ( ) ⋅ ∇ ω ≈ 0, 二阶小量 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V a V ∂ω ∂t ≈ 0 ˆ ∇ × F = 0 ˆ (Ω ⋅ ∇)V = 0 ˆ ˆ 2）不可压 3）缓慢 4）定常 5）无摩擦 流体运动不随旋转轴变化，即流体运动是二维的

§2涡度和涡度方程 Tay1or实验:在圆柱形容器里盛 上流体并使容器旋转起来,当旋转 角速度达一定值时,流体的运动应 Taylor Columns 为二维运动。为了验证这一预言, Or 泰勒在容器的底部放置一小柱体 Proundma Pillars 并使其沿径向缓慢运动,小\柱周 围的流体就作绕流运动。若预言 是对的,则小柱上方的流体也作 绕流运动。用泰勒的话来说,预 Taylor实验 言似乎是奇怪的,他做实验时, 既希望又不希望证实预言,但实 验结果确确实实证明了预言

§2 涡度和涡度方程 Taylor Columns Or Proundman Pillars Taylor 实验 Taylor 实验:在圆柱形容器里盛 上流体并使容器旋转起来,当旋转 角速度达一定值时,流体的运动应 为二维运动。为了验证这一预言， 泰勒在容器的底部放置一小柱体， 并使其沿径向缓慢运动，小柱周 围的流体就作绕流运动。若预言 是对的，则小柱上方的流体也作 绕流运动。用泰勒的话来说，预 言似乎是奇怪的，他做实验时， 既希望又不希望证实预言，但实 验结果确确实实证明了预言

§2涡度和涡度方程 Hide(1976, Nature)曾假定 木星上存在大地形并用 Tay1or柱来解释木星的大红 斑,现证明是错的!

§2 涡度和涡度方程 Hide (1976, Nature) 曾假定 木星上存在大地形并用 Taylor柱来解释木星的大红 斑，现证明是错的！

§2涡度和涡度方程 垂直涡度方程 au au + at 1 op Fx Ox OX +v+ fi Fy (2) OX ax V B+5-+n-+k.B at 0z au av ax Ov/+kVx

§2 涡度和涡度方程 垂直涡度方程 y x F y p fu y v v x v u t v F x p fv y u v x u u t u + ∂ ∂ + = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ρ 1 1 （1） （2） (2) (1) : x ∂y ∂ − ∂ ∂ ( ) k F y v x u f k B y w x w v z v w t h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ⋅∇ × ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ − + + ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ∂ ∂ = − ⋅∇ − ∂ ∂ ς β ξ η ς ς ς ( )

涡度方程各项的意义 §2涡度和涡度方程 相对涡度平流项。由于 v·V口0 流体的运动和相对涡度的空间分布不均 产生的。平流不产生涡度,但它使槽脊 向东移动。 05口0 t --地转涡度平流项。由于流 体的运动和地转涡度的空间分布不均 产生的。它使槽脊向西倒退。 综合 口3000Km,东移 B囗0 ×10000Km,倒退 5口0 t

§2 涡度和涡度方程 − ⋅∇ς h v ˆ − βv ---相对涡度平流项。由于 流体的运动和相对涡度的空间分布不均 产生的。平流不产生涡度，但它使槽脊 向东移动。 ---地转涡度平流项。由于流 体的运动和地转涡度的空间分布不均 产生的。它使槽脊向西倒退。 h v ˆ I 区 II 区 0 0 ‡ ‡ ˆ t v h ∂ ∂ − ⋅∇ ς ς 0 0 M M ˆ t v h ∂ ∂ − ⋅∇ ς ς 0 0 M M t v ∂ ∂ − ς β 0 0 ‡ ‡ t v ∂ ∂ − ς β λ ‡3000Km, λ M10000Km, 综合： 东移 倒退 涡度方程各项的意义