同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第一章 行列式（1.3）n阶行列式的定义

§3n阶行列式的定义

§3 n 阶行列式的定义

、概念的引入 12 13 D 23 2+ 11“22u33 2,+ 122331 13-2132 32 33 13-2231 122133 规律 1.三阶行列式共有6项,即3项 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 3每一项可以写成41n"2(听负号除外),其中P1D2P3 是1、2、3的某个排列 4.当P1P2是偶排列时,对应的项取正号 当P1奇排列时,对应的项取负号

一、概念的引入 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + − − − 规律： 1. 三阶行列式共有6项，即3!项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 3. 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1、2、3的某个排列. 4. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 1 2 3 1 2 3 p p p a a a 1 2 3 p p p 1 2 3 p p p 1 2 3 p p p

所以,三阶行列式可以写成 2 13 D 22 23 ,+a 112233 2,+a,I 122331 132132 32231 122133 112l ∑(-1 )"P1P2P3, a2n2 Pip2P3 其中2表示对1、2、3的所有排列求和 Pip2 二阶行列式有类似规律下面将行列式推广到一般的情形

所以，三阶行列式可以写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 2 3 ( 1)t p p p p p p p p p = −  a a a 其中 表示对1、2、3的所有排列求和. 1 2 3 p p p  二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + − − −

n阶行列式的定义 2 n D 21 22 2=∑(1y t(P1P2".Pun) P12P2 P1p2"pn nn 简记作de(an 1.n阶行列式共有n项 其中行列式D的(元 2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积 3每一项可以写成a1n2(亚负号除外),其中P1P2…Pn 是1,2,…,n的某个排列 4.当P1P2·是排列时,对应的项取正号 当P1P2是奇排列时,对应的项取负号

二、n 阶行列式的定义 1. n 阶行列式共有 n! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 3. 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1, 2, …, n 的某个排列. 4. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 1 2 1 2 n p p np a a a 1 2 n p p p 1 2 n p p p 1 2 n p p p 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n t p p p p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = −  简记作 ， 其中 为行列式D的(i, j)元 det( )ij a ij a

思考题:1=-1成立吗? 答:符号可以有两种理解: √着理解成绝对值,则}1=;+1 若理解成一阶行列式,则|1x-1 注意:当n=1时,一阶行列式a=a,注意不要与 绝对值的记号相混淆例如:一阶行列式|1=-1

思考题： 成立吗？ 答：符号 可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 ； ✓若理解成一阶行列式，则 . − = − 1 1 −1 − = + 1 1− = − 1 1 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与 绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 − = − 1 1

例:写出四阶行列式中含有因子a1的项 解 1123 a324和a1 11·2303442· 例:计算行列式 000 00 00 0 00a120 0 00 000 000 12 14 000 13 22 00 32 33 41 42a

11 12 13 14 22 23 24 3 33 34 44 0 0 0 0 0 0 a a a a aaa D a a a = 例：写出四阶行列式中含有因子 的项. a11a23 例：计算行列式 解： 11 23 32 44 −a a a a 11 23 34 42 和 a a a a . 14 23 2 32 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a D a a = 11 22 1 33 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a D a a = 11 21 22 4 32 32 33 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 a a a D aaa a a a a =

解 IN 00 00000 000 112233-44 00a1 23 (-1) ((432l) 0 0 000 1423u3341 1423u3341 32 41 其中t(4321)=0+1+2+33

解： 11 22 1 33 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a D a a = 14 23 2 32 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a a D a a = 11 22 33 44 = a a a a (4321) 14 23 33 41 ( 1)t = − a a a a 14 23 33 41 = a a a a t(4321) 0 1 2 3 = + + + 3 4 6. 2 其中 = =

12 13 14 112233-44 11 000 22 1423u33441 32 0

11 12 13 14 22 23 24 3 33 34 44 0 0 0 0 0 0 a a a a aaa D a a a = 11 21 22 4 32 32 33 41 42 43 44 0 0 0 0 0 0 a a a D aaa a a a a = 11 22 33 44 = a a a a 14 23 33 41 = a a a a

四个结论: (1)对角行列式 22 D 1122 (2) n(n一 D n (-1) n

1 2, 1 1 n n n a a D a − = 11 22 nn a a D a = 四个结论： (1) 对角行列式 nn a a a = 11 22 (2) ( 1) 2 1 2, 1 1 ( 1) n n n n n a a a − = − −

(3)上三角形行列式(主对角线下侧元素都为0) 12 D 22 2n 00 (4)下三角形行列式(主对角线上侧元素都为0) D 2

n n nn a a a a a a D        1 2 21 22 11 0 0 0 = nn n n a a a a a a D        0 0 0 22 2 11 12 1 = (3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） = a11a22 a nn (4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） = a11a22 a nn