同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.1）向量的内积、长度及正交性

第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

§1向量的内积、长度及正交性

§1 向量的内积、长度及正交性

向量的内积 定义:设有n维向量x x1y1+x2.y2+…+xnyn 52 r y 则称[x,y为向量x和y的内积

定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 [ , ] n n x y = + + + x y x y x y 向量的内积 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y             = =             ( ) 1 2 1 2 , , , n n y y x x x y       =       T = x y

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) 对称性:[x,y=,x x,y]=x,y,+x2y2+.+xmy

1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x y x = + + + = + + + = [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]．

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) ●对称性:[x,y=b,x 线性性质:[λx,y=px,y x+y,d=[x,+Uy,不 x, yl lx+y, z

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T l l l l l x y x y x y x y x y =  =  = = [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z + = +  = +  = + = +

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) ●对称性:[x,y=b,x 线性性质:[λx,y=px,y x+y,刁=[x,+y, 当x=0(零向量)时,[x,x=0 当x≠0(零向量)时,[x,x>0 x,x=x12+x2+…+xn2≥0

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] ⚫ 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x1 2 + x2 2 + … + xn 2 ≥ 0

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) ●对称性:[x,y=b,x 线性性质:[λx,y=Apx,y x+y,刁=[x,+y, 当x=0(零向量)时,[x,x=0 当x≠0(零向量)时,x,x>0 施瓦兹( Schwarz)不等式 x,y2≤[x,x]Uy,y

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] ⚫ 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． ⚫ 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y] 2 ≤ [x, x] [y, y]．

回顾:线段的长度k,x=x2+x2+…+x20 192 若令x=(x1,x2)T,则 OP=√x2+x 若令x=(x1 1,x2,x3) 则 2 OP=x+场+

回顾：线段的长度 2 2 1 2 | | [ , ] OP x x x x = + = x1 x2 x1 x2 x3 P(x1 , x2 ) O P O 若令 x = (x1 , x2 ) T，则 222 1 2 3 | | [ , ] OP x x x x x = + + = 若令 x = (x1 , x2 , x3 ) T，则 [x, x] = x1 2 + x2 2 + … + xn 2 ≥ 0

向量的长度 定义:令 x,x=√x2+x2+…+x2≥0 称‖‖为n维向量x的长度(或范数) 当‖x‖=1时,称x为单位向量 向量的长度具有下列性质: 非负性:当x=0(零向量)时,‖x‖=0 当x≠0(零向量)时,‖x‖>0 ■齐次性:‖x‖=|4|·‖x‖ 无x,Ax] x‖H

2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] l l l l l l l x x x x x x x x === 向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： ◼ 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0． ◼ 齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． 2 2 2 1 2 || || [ , ] 0 n x = = + + +  x x x x x 2 || || [ , ] [ , ] | | [ , ] || | l l l l x x x x x x x x = = = =  l | l | |

向量的长度 定义:令‖x|=√x,x x十…十x 称‖‖为n维向量x的长度(或范数) 当‖x‖=1时,称x为单位向量 向量的长度具有下列性质: 非负性:当x=0(零向量)时,‖x‖=0; 当x≠0(零向量)时,‖x‖>0 ■齐次性:‖λx‖=|λ|·‖x‖. 三角不等式:‖x+y‖≤‖x‖+‖yl‖

向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： ◼ 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0． ◼ 齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||． ◼ 三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||． 2 2 2 1 2 | | | | [ , ] n x = = + + + x x x x x x y x + y y